Кез келген бiр базисте төмендегi векторлар берiлсiн: 1) a  4,2, b  3,5, x  1,7    ; 2) a  5,4, b   3,0, x  19,8    ; 3) a   6,2, b  4,7, x …

Для нахождения вектора \( \mathbf{x} \) как линейной комбинации векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), мы должны решить следующее уравнение:

\[ \mathbf{x} = k_1 \mathbf{a} + k_2 \mathbf{b} \]

где \( k_1 \) и \( k_2 \) — это скалярные коэффициенты.

Рассмотрим каждый из случаев по отдельности.

1. Случай 1:

• \( \mathbf{a} = \{4, -2\} \)
• \( \mathbf{b} = \{3, 5\} \)
• \( \mathbf{x} = \{1, -7\} \)

Мы записываем уравнение для каждой координаты:

1. \( 4k_1 + 3k_2 = 1 \) (1)
2. \( -2k_1 + 5k_2 = -7 \) (2)

Теперь решим эту систему уравнений:

Из (1): \[ 3k_2 = 1 - 4k_1 \implies k_2 = \frac{1 - 4k_1}{3} \]

Подставим \( k_2 \) в (2):

\[ -2k_1 + 5\left(\frac{1 - 4k_1}{3}\right) = -7 \]

Упростим это уравнение:

\[ -2k_1 + \frac{5 - 20k_1}{3} = -7 \]

Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[ -6k_1 + 5 - 20k_1 = -21 \] \[ -26k_1 + 5 = -21 \] \[ -26k_1 = -26 \implies k_1 = 1 \]

Теперь подставим \( k_1 \) обратно в (1):

\[ 4(1) + 3k_2 = 1 \implies 4 + 3k_2 = 1 \implies 3k_2 = -3 \implies k_2 = -1 \]

Таким образом, для первого случая приближаем выражение:

\[ \mathbf{x} = 1 \cdot \mathbf{a} - 1 \cdot \mathbf{b} \]

2. Случай 2:

• \( \mathbf{a} = \{5, 4\} \)
• \( \mathbf{b} = \{-3, 0\} \)
• \( \mathbf{x} = \{19, 8\} \)

Запишем систему:

1. \( 5k_1 - 3k_2 = 19 \) (1)
2. \( 4k_1 + 0 \cdot k_2 = 8 \) (2)

Решим (2):

\[ 4k_1 = 8 \implies k_1 = 2 \]

Подставляем \( k_1 \) в (1):

\[ 5(2) - 3k_2 = 19 \implies 10 - 3k_2 = 19 \] \[ -3k_2 = 9 \implies k_2 = -3 \]

Таким образом, для второго случая:

\[ \mathbf{x} = 2 \cdot \mathbf{a} - 3 \cdot \mathbf{b} \]

3. Случай 3:

• \( \mathbf{a} = \{-6, 2\} \)
• \( \mathbf{b} = \{4, 7\} \)
• \( \mathbf{x} = \{9, -3\} \)

Запишем систему:

1. \( -6k_1 + 4k_2 = 9 \) (1)
2. \( 2k_1 + 7k_2 = -3 \) (2)

Теперь решим эту систему участников:

Из (1):

\[ 4k_2 = 9 + 6k_1 \implies k_2 = \frac{9 + 6k_1}{4} \]

Подставляем \( k_2 \) в (2):

\[ 2k_1 + 7\left(\frac{9 + 6k_1}{4}\right) = -3 \]

Умножив на 4 для удобства:

\[ 8k_1 + 7(9 + 6k_1) = -12 \implies 8k_1 + 63 + 42k_1 = -12 \] \[ 50k_1 = -75 \implies k_1 = -\frac{3}{2} \]

Теперь подставим обратно, чтобы найти \( k_2 \):

\[ k_2 = \frac{9 + 6\left(-\frac{3}{2}\right)}{4} = \frac{9 - 9}{4} = 0 \]

Таким образом, для третьего случая:

\[ \mathbf{x} = -\frac{3}{2} \cdot \mathbf{a} + 0 \cdot \mathbf{b} \]

Таким образом, мы нашли линейные комбинации для всех трёх случаев. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!