Решите систему уравнений: y = x ^ 2 - 3; x - y = 1
Чтобы решить систему уравнений
- \( y = x^2 - 3 \)
- \( x - y = 1 \)
начнем с подстановки первого уравнения во второе. Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ y = x - 1 \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:
\[ x - 1 = x^2 - 3 \]
Преобразуем уравнение:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы решить его, можем использовать формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1, b = -1, c = -2 \):
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]
Поскольку дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
Теперь, подставив найденные значения \( x \) обратно в уравнение для \( y \):
- Если \( x = 2 \):
\[ y = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \]
Таким образом, первая пара решений — \( (2, 1) \).
- Если \( x = -1 \):
\[ y = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \]
Вторая пара решений — \( (-1, -2) \).
Итак, решения системы уравнений:
\[ (2, 1) \quad \text{и} \quad (-1, -2) \]
