В теннисном турнире всё должны были сыграть другие с другом только один раз. Однако уже во время турнира четверо игроков отказались от участия. Мы знаем, что каждый из выбывших…

Давайте разберемся с задачей.

Мы знаем, что каждый из четырех выбывших игроков сыграл по две игры. Таким образом, общее количество игр, сыгранных выбывшими игроками, составляет:

\[ 4 \text{ игрока} \times 2 \text{ игры} = 8 \text{ игр}. \]

Поскольку в турнире всего было 76 игр, это означает, что изначально сыгранные игры участниками, которые остались в турнире, составляют:

\[ 76 \text{ игр} - 8 \text{ игр} = 68 \text{ игр}. \]

Теперь, чтобы найти количество оставшихся игроков, нам нужно знать, сколько игр сыграло каждый оставшийся игрок. В теннисе каждый игрок играет с каждым другим игроком один раз, и число игр можно выразить через количество игроков \( n \) с помощью формулы:

\[ \text{Число игр} = \frac{n(n-1)}{2}. \]

Давайте обозначим количество стартовавших игроков как \( n \) и количество оставшихся игроков как \( n - 4 \), поскольку четверо выбыли.

Тогда для оставшихся игроков количество игр будет:

\[ \frac{(n-4)(n-5)}{2} = 68. \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ (n-4)(n-5) = 136. \]

Теперь раскроем скобки:

\[ n^2 - 9n + 20 = 136. \]

Переносим все в одну сторону:

\[ n^2 - 9n - 116 = 0. \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-116) = 81 + 464 = 545. \]

Теперь находим корни:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{545}}{2}. \]

Поскольку \(\sqrt{545}\) примерно равно 23,3, то подставим это значение:

\[ n \approx \frac{9 \pm 23,3}{2}. \]

Таким образом, решаем для положительного корня:

\[ n \approx \frac{32,3}{2} \approx 16,15. \]

Так как количество игроков должно быть целым, стоит проверить целое значение \( n = 16 \).

Проверим:

Количество оставшихся игроков:

\[ 16 - 4 = 12. \]

Подставим \( n = 12 \) в формулу для определения числа игр:

\[ \frac{12(12-1)}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66. \]

Дополним количество игр выбывших игроков:

\[ 66 + 8 = 74. \]

Таким образом, первоначально в турнире участвовало 16 игроков.

Таким образом, ответ на задачу: в турнире стартовало 16 игроков.