Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. У Анны и Бориса по три различных положительных целых числа, и у них только одно общее число. Назовем общее число \( x \).

2. У Анны числа: \( a_1, a_2, a_3 \), а у Бориса: \( b_1, b_2, b_3 \). Мы знаем, что \( x \) принадлежит и какой-то из \( a_i \), и какой-то из \( b_j \).

3. Володя заметил, что сумма любых двух различных чисел с листочка Анны равна одному из чисел Бориса. Это означает, что:

   • \( a_1 + a_2 = b_i \)
   • \( a_1 + a_3 = b_j \)
   • \( a_2 + a_3 = b_k \)

4. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Борис назвал число 25.

Таким образом, теперь давайте посмотрим, какие числа могут быть у Бориса:

• Если одно из чисел Бориса 25, то одно из чисел Анны должно быть равно \( \frac{25}{3} \), но это не целое число, следовательно, число 25 не может быть \( b_i \), \( b_j \) или \( b_k \).

Теперь мы можем рассмотреть вариант, что 25 – это одно из чисел Бориса, а другие числа \( b_2 \) и \( b_3 \) должны быть таковы, чтобы соблюдались условия.

5. Попробуем рассмотреть, что если число \( x \) у Анны, то если \( x \) общее, пусть \( a_1, a_2, a_3 \) – это \( x, a, b \) (где \( a \) и \( b \) – другие два разных положительных числа у Анны), и \( a + b = 25 \).

Допустим, у нас есть:

• \( b_1 = 25 \)
• \( b_2 = a + x \)
• \( b_3 = b + x \)

6. Теперь мы знаем, что число Анны в 3 раза меньше:

• Пусть это будет \( b_j \) из \( b \); \( x = \frac{b}{3} \), значит, \( b = 3x \).

7. Число Анны будет равно \( \frac{25}{3} \), что нецелое. Мы должны найти \( x \), чтобы всё соответствовало условиям.

Если мы возьмем:

• \( x = 5 \) (очень вероятное число, удовлетворяющее условиям):
• Тогда остальные могут быть такие:
  • \( a + x = 25 \rightarrow a = 25 - 5 = 20 \),
  • \( b + x = (другое число, например 15) \).

Теперь мы можем заключить, что:

• \( x = 5 \), это общее число: тогда \( a_1 = 5, a_2 = 20, a_3 = 15 \).

Итак, число, которое назвала Анна, будет 5.