Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 50. Какое число назвала Анна?

Давайте подробно разберем задачу, чтобы найти, какое число назвала Анна.

1. У Анны и Бориса по три различных положительных целых числа. Обозначим числа Анны как \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) и числа Бориса как \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\). Из условия знаем, что у них есть одно общее число. Пусть это общее число будет \(x\).

2. Сложив любые два различных числа с листочка Анны, мы получаем одно из чисел Бориса. Это означает, что для каждого из чисел Анны можно найти такое \(B_i\) (где \(i = 1, 2, 3\)), что:

   • \(A_1 + A_2 = B_i\)
   • \(A_1 + A_3 = B_j\)
   • \(A_2 + A_3 = B_k\) где \(B_i\), \(B_j\), \(B_k\) — различные числа Бориса.

3. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Борис назвал число 50, поэтому число, которое назвала Анна, должно быть равно \( \frac{50}{3} \). Однако это дробное число и не может быть положительным целым числом, поэтому это не подходит.

Тем не менее, поскольку у них одно общее число, давайте предположим, что:

• \(x\) - общее число между Анной и Борисом.
• Если, например, \(x = 10\), то Борис мог бы иметь числа вроде:
  • \(B_1 = 10\)
  • \(B_2 = 20\) (т.к. \(10 \times 2\))
  • \(B_3 = 30\) (т.к. \(10 \times 3\))

Таким образом у Анны могут быть числа:

• \(A_1 = 10\)
• \(A_2\) и \(A_3\) - числа, которые в сумме дают 20 и 30. Например, \(A_2 = 15\) и \(A_3 = 5\). Здесь:
  • \(10 + 15 = 25\)
  • \(10 + 5 = 15\)
  • \(5 + 15 = 20\) (это число Бориса)

Теперь, если Анна назвала число 10, то оно действительно является 1/3 одного из чисел Бориса (который мог бы иметь 30).

Таким образом, число, которое назвала Анна, равно 10.