Составит уравнение касательной и нормали к кривой y=x^+8x+6 в точке (2;14)
Для начала, давайте найдем уравнение касательной и нормали к кривой \(y = x^2 + 8x + 6\) в точке \((2, 14)\).
Проверим, что точка принадлежит кривой. Подставим \(x = 2\) в уравнение: \[ y = 2^2 + 8 \cdot 2 + 6 = 4 + 16 + 6 = 26. \] Следовательно, \(y\) в точке \((2, 14)\) не совпадает с полученным значением \(26\). Таким образом, сначала мы должны найти правильную точку на кривой.
Поэтому найдем значение функции в \(x = 2\): \[ y = 2^2 + 8 \cdot 2 + 6 = 4 + 16 + 6 = 26. \] Точка на кривой при \(x = 2\) будет \((2, 26)\).
Найдем производную функции \(y\) для нахождения углового коэффициента касательной: \[ \frac{dy}{dx} = 2x + 8. \] Подставим \(x = 2\): \[ \frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 2 \cdot 2 + 8 = 4 + 8 = 12. \] Угловой коэффициент касательной равен \(12\).
Уравнение касательной. Мы можем использовать точку и угловой коэффициент для написания уравнения прямой в форме \(y - y_1 = m(x - x_1)\): \[ y - 26 = 12(x - 2). \] Упрощая: \[ y - 26 = 12x - 24 \implies y = 12x + 2. \]
Уравнение нормали. Угловой коэффициент нормали равен отрицательному обратному угловому коэффициенту касательной: \[ m_{нормали} = -\frac{1}{12}. \] Используем ту же точку \((2, 26)\) для создания уравнения: \[ y - 26 = -\frac{1}{12}(x - 2). \] Упрощая это, получаем: \[ y - 26 = -\frac{1}{12}x + \frac{1}{6} \implies y = -\frac{1}{12}x + \frac{157}{6}. \]
Итак, у нас есть:
- Уравнение касательной: \(y = 12x + 2\).
- Уравнение нормали: \(y = -\frac{1}{12}x + \frac{157}{6}\).
Если есть еще вопросы по данному материалу или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
