составить уравнение к касательной и нормали к кривой y=x^3-4x^2+8x+6 в точке (2;14)

Чтобы составить уравнение касательной и нормали к кривой \(y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6\) в точке \((2, 14)\), сначала найдем производную функции, которая даст нам угловой коэффициент касательной.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Функция \(y\) имеет вид: \[ y = x^3 - 4x^2 + 8x + 6 \]

Производная этой функции: \[ y' = 3x^2 - 8x + 8 \]

Шаг 2: Подставим \(x = 2\) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной.

\[ y'(2) = 3(2^2) - 8(2) + 8 = 3(4) - 16 + 8 = 12 - 16 + 8 = 4 \]

Угловой коэффициент касательной в точке \((2, 14)\) равен \(4\).

Шаг 3: Используем точку и угловой коэффициент, чтобы найти уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \((x_0, y_0)\) — это точка касания, а \(m\) — угловой коэффициент.

Подставляем: \[ y - 14 = 4(x - 2) \]

Раскрываем скобки: \[ y - 14 = 4x - 8 \]

Переносим \(14\) в правую часть уравнения: \[ y = 4x + 6 \]

Таким образом, уравнение касательной к кривой в точке \((2, 14)\): \[ y = 4x + 6 \]

Шаг 4: Найдем уравнение нормали.

Угловой коэффициент нормали — это отрицательное значение обратного углового коэффициента касательной. Таким образом: \[ m_{нормали} = -\frac{1}{4} \]

Используем уравнение нормали, аналогично уравнению касательной: \[ y - 14 = -\frac{1}{4}(x - 2) \]

Раскрываем скобки: \[ y - 14 = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} \]

Переносим \(14\) в правую часть: \[ y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + 14 \] \[ y = -\frac{1}{4}x + 14.5 \]

Таким образом, уравнение нормали к кривой в точке \((2, 14)\): \[ y = -\frac{1}{4}x + 14.5 \]

В итоге:

• Уравнение касательной: \(y = 4x + 6\)
• Уравнение нормали: \(y = -\frac{1}{4}x + 14.5\)