В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Для начала, давайте напомним, как находить расстояния от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности. В треугольнике с длинами сторон \( a \), \( b \) и \( c \) (где \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \)), стороны \( a \), \( b \) и \( c \) противолежат вершинам \( A \), \( B \) и \( C \) соответственно.

Расстояния от каждой вершины до точки касания вписанной окружности можно найти по формуле:

\[ d_A = \frac{a + b - c}{2}, \] \[ d_B = \frac{b + c - a}{2}, \] \[ d_C = \frac{c + a - b}{2}. \]

Теперь подставим значения:

1. Для вершины \( A \) (против стороны \( a = 4 \)): \[ d_A = \frac{4 + 5 - 8}{2} = \frac{1}{2} = 0,5. \]

2. Для вершины \( B \) (против стороны \( b = 5 \)): \[ d_B = \frac{5 + 8 - 4}{2} = \frac{9}{2} = 4,5. \]

3. Для вершины \( C \) (против стороны \( c = 8 \)): \[ d_C = \frac{8 + 4 - 5}{2} = \frac{7}{2} = 3,5. \]

Теперь мы имеем расстояния:

• \( d_A = 0,5 \)
• \( d_B = 4,5 \)
• \( d_C = 3,5 \)

Наименьшее из этих расстояний равно \( d_A = 0,5 \).

Таким образом, наименьшее расстояние от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности равно \( 0,5 \).