На Олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причëм Катя решала на 5 задач больше Феди, а Мотя на 8 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 23 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работов?
Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Обозначим количество задач, которые решили ребята:
- Пусть Федя решил \( x \) задач.
- Тогда Катя решила \( x + 5 \) задач (на 5 задач больше Феди).
- Пусть Паша решил \( y \) задач.
- Тогда Мотя решил \( y + 8 \) задач (на 8 задач больше Паши).
У нас есть информация о том, что две лучшие работы в сумме решили 23 задачи. Это значит, что мы должны учитывать комбинации имен, которые могут добавить до 23.
Теперь давайте выполним суммирование:
\[ x + (x + 5) + y + (y + 8) = 2x + 2y + 13 \] Это у нас общее количество задач от всех четырех.
Чтобы обе лучшие работы в сумме давали 23, рассмотрим различные варианты:
Если выберем Катю и Мотю: \[ (x + 5) + (y + 8) = 23 \implies x + y + 13 = 23 \implies x + y = 10 \]
Если выберем Катю и Пашу: \[ (x + 5) + y = 23 \implies x + y + 5 = 23 \implies x + y = 18 \]
Если выберем Федю и Мотю: \[ x + (y + 8) = 23 \implies x + y + 8 = 23 \implies x + y = 15 \]
Если выберем Федю и Пашу: \[ x + y = 23 \]
Из всех вариантов у нас есть только одно уравнение, которое играет роль: \( x + y = 10 \).
Теперь подставим значение \( y = 10 - x \) обратно в общее количество задач:
\[ 2x + 2(10 - x) + 13 = 2x + 20 - 2x + 13 = 33 \]
Таким образом, общее количество задач, решенных всеми четырьмя, равно 33.
Ответ: Все четыре работы в сумме решили 33 задачи.
