В баскетбольном турнире все команды должны были сыграть друг с другом ровно один раз. Однако уже во время турнира три команды отказались от участия. Мы знаем, что каждая из выбывших сыграла по две игры и что в соревновнии было сыграно ровно 70 игр. Сколько команд стартовало в турнире?

Для решения задачи давайте обозначим количество команд в турнире, которые стартовали, как \( n \).

В каждом турнире, где играют \( n \) команд, если каждая команда должна сыграть с каждой другой командой ровно один раз, общее количество игр \( G \) можно вычислить по формуле:

\[ G = \frac{n(n-1)}{2} \]

В нашей задаче три команды отказались от участия, и каждая из них сыграла по две игры. Поскольку отказавшиеся команды сыграли 2 игры, это значит, что они провели всего \( 3 \times 2 = 6 \) игр.

Итак, количество игр, которые были сыграны между остальными командами, составляет:

\[ 70 - 6 = 64 \]

После ухода трех команд у нас остается \( n - 3 \) команд. Тогда общее количество игр между оставшимися командами можно выразить как:

\[ \frac{(n - 3)(n - 4)}{2} = 64 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ (n - 3)(n - 4) = 128 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ n^2 - 7n + 12 = 128 \]

Переносим 128 на левую сторону:

\[ n^2 - 7n - 116 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется так:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 1 \times (-116) = 49 + 464 = 513 \]

Теперь находим корни уравнения с использованием формулы:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{513}}{2} \]

Приблизительное значение \( \sqrt{513} \) равно 22.65, значит:

\[ n \approx \frac{7 \pm 22.65}{2} \]

Рассматриваем положительное решение:

\[ n \approx \frac{29.65}{2} \approx 14.825 \]

Так как количество команд должно быть целым числом, мы округляем \( n \) до ближайшего целого числа, получаем \( n = 15 \).

Проверяем:

Если в турнире стартовало 15 команд, то до отказа 70 игр действительно могут быть сыграны. При выбывших 3 командах останется 12 команд, и количество игр между ними будет:

\[ \frac{12 \times 11}{2} = 66 \]

Плюс 6 игр, сыгранных выбывшими командами, даёт в общей сложности 70 игр.

Следовательно, число команд, стартовавших в турнире, равно 15.