Дан треугольник АВС с углом В, равным 60°. В точках А и С провели две касательные к описанной окружности АВС, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к ВС, восстановленный в точке…

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим данные и используем геометрические свойства треугольников и окружностей.

1. У нас есть треугольник ABC, где угол B равен 60°, а угол A равен 70°. Следовательно, угол C можно найти с помощью суммы углов в треугольнике: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180° \] Подставим известные значения: \[ 70° + 60° + \angle C = 180° \] \[ \angle C = 180° - 130° = 50° \]

2. Теперь рассмотрим точки A и C, где проведены касательные к описанной окружности треугольника ABC, и они пересекаются в точке P. По свойствам касательных мы знаем, что угол, образуемый касательной и хордой, равен половине угла, противоположного данной хорде. Для точки A: \[ \angle PAB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \cdot 50° = 25° \]

   Для точки C: \[ \angle PCA = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \]

3. Теперь найдем угол CQP. Углы PAB и PCA совместно образуют угол между прямыми AB и CP. Чтобы найти угол CQП, нужно определить, как эти углы связаны. Зная, что угол APQ равно углу PAB, а угол BPC (угол между двуми касательными на стороне C) равен 180° - угол C, мы можем использовать следующую формулу для суммирования углов в точке P:

   \[ \angle CQР = \angle PCA + \angle PAB = 30° + 25° = 55°. \]

Таким образом, угол CQP равен 55°.