барабашка живёт в раздевалке где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. однажды ночью барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда начиная с…
Барабашка живёт в раздевалке где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. однажды ночью барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда начиная с 1. при этом если номер шкафчики делится на называемое число то шкафчик подпрыгивает один раз в противном случае стоит смирно. безобразия прекратились как только было произнесено число в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал . какое это было число? шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно проанализируем, что происходит с шкафчиками.
Шкафчики имеют номера от 98 до 111. Мы будем проверять, на какие числа делятся эти номера.
Для каждого числа от 1 и далее будем проверять, прыгает ли шкафчик. Шкафчик с номером \( n \) подпрыгнет, если \( n \) делится на число, которое произносит барабашка.
Давайте посмотрим, какие номера шкафчиков у нас есть: 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111.
Проверим делимость шкафчиков на последовательные натуральные числа, начиная с 1.
При \( k = 1 \): все шкафчики (98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111) прыгают (потому что все делятся на 1).
При \( k = 2 \): шкафчики с чётными номерами (98, 100, 102, 104, 106, 108, 110) прыгают.
При \( k = 3 \): шкафчики 99, 102, 105, 108, 111 (делятся на 3) прыгают.
При \( k = 4 \): шкафчики 100, 104, 108 (делятся на 4) прыгают.
При \( k = 5 \): шкафчики 100, 105, 110 (делятся на 5) прыгают.
При \( k = 6 \): шкафчики 102, 108 (делятся на 6) прыгают.
При \( k = 7 \): только шкафчик 105 (делится на 7) прыгает.
При \( k = 8 \): только шкафчик 104 (делится на 8) прыгает.
При \( k = 9 \): только шкафчик 108 (делится на 9) прыгает.
При \( k = 10 \): шкафчики 100, 110 (делятся на 10) прыгают.
При \( k = 11 \): только шкафчик 110 (делится на 11) прыгает.
При \( k = 12 \): только шкафчик 108 (делится на 12) прыгает.
- Если продолжать, то к числу 14 шкафчики перестанут реагировать, поскольку ни один из номеров (98-111) не делится на 14. Таким образом, число 14 - это первое число, на которое ни один шкафчик не отреагировал.
Теперь определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Подсчитаем количество прыжков для каждого шкафчика:
- 98: 1 (на 1), 1 (на 2) = 2
- 99: 1 (на 1), 1 (на 3) = 2
- 100: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 4), 1 (на 5), 1 (на 10) = 5
- 101: 1 (на 1) = 1
- 102: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 3), 1 (на 6) = 4
- 103: 1 (на 1) = 1
- 104: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 4), 1 (на 8) = 4
- 105: 1 (на 1), 1 (на 3), 1 (на 5), 1 (на 7) = 4
- 106: 1 (на 1), 1 (на 2) = 2
- 107: 1 (на 1) = 1
- 108: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 3), 1 (на 4), 1 (на 6), 1 (на 9) = 6
- 109: 1 (на 1) = 1
- 110: 1 (на 1), 1 (на 2), 1 (на 5), 1 (на 10), 1 (на 11) = 5
- 111: 1 (на 1), 1 (на 3) = 2
Шкафчик номер 108 подпрыгнул наибольшее количество раз – 6 раз.
Итак, в ответ на ваш вопрос:
- Число, на которое ни один шкафчик не среагировал – 14.
- Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз – 108.
