Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между…

Для решения задачи сначала обозначим количество синих шариков в коробке \( i \) как \( b_i \) и количество красных шариков как \( r_i \). Поскольку в каждой коробке есть хотя бы по одному красному и синему шарику, то \( b_i \geq 1 \) и \( r_i \geq 1 \).

Коля находит разницу \( d_i = |b_i - r_i| \). Условие проблемы говорит о том, что разности \( d_i \) в каждой из 13 коробок все разные, а общее число синих и красных шариков равное, то есть:

\[ \sum_{i=1}^{13} b_i = \sum_{i=1}^{13} r_i \]

Теперь, разницы \( d_i \) могут принимать значения от 0 до 12 (поскольку при равенстве \( b_i = r_i \) разница будет 0, а при максимальной разнице в одной коробке может быть 13 красных, а в другой — 1 синий или наоборот). Но поскольку все \( d_i \) должны быть различны, разности могут принимать значения от 1 до 13.

Поскольку разности должны принимать значения от 1 до 13, мы можем задать \( d_i = i \) для \( i = 1, 2, \ldots, 13 \). Это означает, что:

• Для 1-й коробки: \( b_1 \) и \( r_1 \) такие, что \( |b_1 - r_1| = 1 \).
• Для 2-й коробки: \( |b_2 - r_2| = 2 \).
• ...
• Для 13-й коробки: \( |b_{13} - r_{13}| = 13 \).

Согласно условиям, у нас есть при одной из коробок, например, \( (b_1, r_1) = (1, 2) \) для \( d_1 = 1 \), \( (b_2, r_2) = (2, 4) \), и так далее. Однако прикрепление определённых значений не обязательно, и мы можем добиться наименьшего количества шариков, если придерживаться условия.

Теперь запишем общее количество шариков. Поскольку в каждой коробке количество красных равно количеству синих в целом, то:

Пусть \( b_i \) — максимальное из двух чисел и \( r_i = b_i - d_i \) (т.е. "синих" больше, или наоборот). Общее количество шариков можно найти так:

\[ \text{Сумма шариков} = \sum_{i=1}^{13} (b_i + r_i) = \sum_{i=1}^{13} (b_i + (b_i - d_i)) = \sum_{i=1}^{13} (2b_i - d_i) \]

При равенстве синей и красной части (где \( b_i ≥ r_i \)), получается, что минимальная возможная сумма— количество шариков будет минимально в целом.

Во избежание сложных повторений мы можем минимизировать каждый элемент \( b_i + r_i \), так чтобы общее количество минимально увеличивалось, держать \( b_{i} = i+1 \) и \( r_{i} = i \) как разложение четко для 13 будет соблюдение (по 1+2+...+13).

Значит, мы можем вычислить общее количество как \( 1+2, 2+4... = 182 \).

И в итоге можно прийти к минимальному количеству:

\[ \text{132} \text{- минимальное общее количество шариков в 13 коробках} \]

Это и будет минимальное количество шариков суммарно во всех коробках, если учесть вышеразобранные условия.