в треугольнике со сторонами 6,7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписаной окружности со сторонами…

Чтобы найти наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала необходимо определить радиус вписанной окружности и точки касания.

Для начала, найдем полупериметр треугольника. Стороны его равны 6, 7 и 8. Полупериметр \( p \) рассчитывается по формуле:

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 7 + 8}{2} = 10.5 \]

Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{10.5 \cdot (10.5 - 6) \cdot (10.5 - 7) \cdot (10.5 - 8)} = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \]

Теперь следует вычислить:

1. \( 10.5 - 6 = 4.5 \)
2. \( 10.5 - 7 = 3.5 \)
3. \( 10.5 - 8 = 2.5 \)

Теперь подставим:

\[ S = \sqrt{10.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 2.5} \approx \sqrt{49.6875} \approx 7.06 \]

Затем, радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \approx \frac{7.06}{10.5} \approx 0.672 \]

Местоположение точек касания окружности с сторонами треугольника также имеет значение. Расстояние от вершины до точки касания на стороне \( a \) (в данном случае, 6) равно:

\[ d_a = p - a = 10.5 - 6 = 4.5 \]

На стороне \( b \) (7):

\[ d_b = p - b = 10.5 - 7 = 3.5 \]

На стороне \( c \) (8):

\[ d_c = p - c = 10.5 - 8 = 2.5 \]

Теперь мы имеем три расстояния:

• \( d_a = 4.5 \)
• \( d_b = 3.5 \)
• \( d_c = 2.5 \)

Наименьшее из этих расстояний:

\[ \min(d_a, d_b, d_c) = \min(4.5, 3.5, 2.5) = 2.5 \]

Таким образом, наименьшее расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 2.5.