В треугольник со сторонами 4, 5 и 6 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

В треугольнике со сторонами 4, 5 и 6, вписанная окружность касается сторон в определённых точках, от которых можно измерять расстояния до вершин треугольника.

Для начала, найдем полупериметр треугольника. Полупериметр \( s \) равен половине суммы всех сторон:

\[ s = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

Теперь можем использовать полупериметр для нахождения длины отрезков от вершин треугольника до точек касания с вписанной окружностью. Эти отрезки обозначаются как \( a \), \( b \) и \( c \) для сторон соответственно:

• Для стороны 4: \( a = s - 4 = 7.5 - 4 = 3.5 \)
• Для стороны 5: \( b = s - 5 = 7.5 - 5 = 2.5 \)
• Для стороны 6: \( c = s - 6 = 7.5 - 6 = 1.5 \)

Теперь расстояния от каждой из вершин до касательной точки будут:

• От вершины, противоположной стороне 4: \( b + c = 2.5 + 1.5 = 4 \)
• От вершины, противоположной стороне 5: \( a + c = 3.5 + 1.5 = 5 \)
• От вершины, противоположной стороне 6: \( a + b = 3.5 + 2.5 = 6 \)

Теперь мы можем определить наименьшее расстояние из полученных:

• Расстояние до касательной от вершины, противоположной стороне 4: 4
• Расстояние до касательной от вершины, противоположной стороне 5: 5
• Расстояние до касательной от вершины, противоположной стороне 6: 6

Наименьшим из этих расстояний является 4. Таким образом, наименьшее расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со стороной треугольника равно:

\[ \text{Ответ: } 4 \]