3^(12х-1)-9^(6х-1) 81^(3х 1)=2192
Чтобы решить уравнение \(3^{(12x-1)} - 9^{(6x-1)} + 81^{(3x+1)} = 2192\), начнем с того, что преобразуем все основания к одинаковой базе, то есть к базе 3.
- Обратите внимание, что \(9\) можно выразить как \(3^2\), а \(81\) как \(3^4\):
- \(9^{(6x-1)} = (3^2)^{(6x-1)} = 3^{2(6x-1)} = 3^{(12x-2)}\)
- \(81^{(3x+1)} = (3^4)^{(3x+1)} = 3^{4(3x+1)} = 3^{(12x+4)}\)
Теперь мы можем переписать уравнение: \[ 3^{(12x-1)} - 3^{(12x-2)} + 3^{(12x+4)} = 2192 \]
Обозначим \(y = 3^{12x}\). Теперь можно переписать уравнение: \[ y \cdot 3^{-1} - y \cdot 3^{-2} + y \cdot 3^{4} = 2192 \] или \[ \frac{y}{3} - \frac{y}{9} + 81y = 2192 \]
Приведем все слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель это 9: \[ \frac{3y}{9} - \frac{y}{9} + \frac{729y}{9} = 2192 \]
Объединим все слагаемые: \[ \frac{3y - y + 729y}{9} = 2192 \]
Это упрощается до: \[ \frac{731y}{9} = 2192 \]
- Умножим обе стороны на 9: \[ 731y = 2192 \cdot 9 \]
Вычислим \(2192 \cdot 9\): \[ 2192 \cdot 9 = 19728 \]
- Затем разделим обе стороны на 731: \[ y = \frac{19728}{731} \]
Проведем деление: \[ y = 27 \]
Теперь вспомним, что \(y = 3^{12x}\): \[ 3^{12x} = 27 \] Поскольку \(27 = 3^3\), то: \[ 3^{12x} = 3^3 \]
Приравниваем показатели: \[ 12x = 3 \] Таким образом, \[ x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
Итак, окончательный ответ: \[ x = \frac{1}{4} \]
