В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для нахождения расстояний от вершин треугольника до точек касания вписанной окружности, сначала найдем площадь треугольника и его полупериметр.

Стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \).

Сначала находим полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = 8.5 \]

Теперь найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Сначала вычислим \( p-a \), \( p-b \) и \( p-c \):

\[ p-a = 8.5 - 4 = 4.5 \] \[ p-b = 8.5 - 5 = 3.5 \] \[ p-c = 8.5 - 8 = 0.5 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \]

Вычислим:

\[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 = 38.25} \] \[ 38.25 \cdot 3.5 = 133.875 \] \[ 133.875 \cdot 0.5 = 66.9375 \] \[ S = \sqrt{66.9375} \approx 8.18 \]

Теперь мы знаем площадь треугольника. Чтобы найти радиус вписанной окружности \( r \), используем формулу:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Подставим значения:

\[ r \approx \frac{8.18}{8.5} \approx 0.96 \]

Теперь найдем расстояния от каждой из вершин треугольника до соответствующих точек касания. Эти расстояния можно найти по формуле:

\[ d_a = r, \quad d_b = r, \quad d_c = r \]

где \( d_a \), \( d_b \), \( d_c \) – расстояния от вершин до сторон треугольника, что в данной задаче данных не меняется, поскольку мы их ищем по касаниям.

Расстояния от вершин до сторон:

• От \( A \) до \( BC \)
• От \( B \) до \( AC \)
• От \( C \) до \( AB \)

С таким подходом мы можем выяснить, сколько равные части будут в каждой из сторон. У нас будет:

\[ d_a = p-a = 4.5, \quad d_b = p-b = 3.5, \quad d_c = p-c = 0.5 \] Что показывает, что точка, ближайшая будет к \( d_c \).

Наименьшее расстояние от вершин до касательных точек:

\[ \text{Наименьшее расстояние} = \min(d_a, d_b, d_c) = 0.5 \]

Ответ: \( 0.5 \).