Родители с сыном отправились по тропе к озеру. Сын сразу пошёл вперед, а дойдя до озера, повернул назад и шёл, пока не встретил идущих медленнее родителей. Длина его пути до озера…

Обозначим следующие параметры:

• Длина пути до озера (свободный путь сына) = 800 шагов.
• Длина пути назад до родителей = 600 шагов.
• Время, затраченное сыном до встречи с родителями = 20 минут.

Пусть:

• \( v_s \) — скорость сына в шагах в минуту.
• \( v_p \) — скорость родителей в шагах в минуту.

Сын прошел 800 шагов за время: \[ t_1 = \frac{800}{v_s}. \]

Затем на обратном пути он прошел 600 шагов за время: \[ t_2 = \frac{600}{v_s}. \]

Общее время: \[ t_1 + t_2 = 20. \] Подставим: \[ \frac{800}{v_s} + \frac{600}{v_s} = 20 \] \[ \frac{1400}{v_s} = 20. \] Отсюда: \[ v_s = \frac{1400}{20} = 70 \text{ шагов в минуту}. \]

Теперь найдем время, за которое родители шли до встречи с сыном. За это время они прошли: \[ t = t_1 + t_2 = \frac{800}{70} + \frac{600}{70} = \frac{1400}{70} = 20 \text{ минут}. \]

Допустим, родители шли \( t_p \) минут до встречи с сыном. Тогда: \[ t_p = 20 - t_{сын_возврат}, \text{ где } t_{сын_возврат} = \frac{600}{70} = \frac{60}{7} \text{ минут} \approx 8.57 \text{ минут}. \]

Теперь считаем, сколько времени родители должны дойти до озера после встречи: После встречи с сыном им осталось пройти 800 шагов до озера, двигаясь со скоростью \( v_p \): \[ t_{родителей} = \frac{800}{v_p}. \]

Скорость родителей \( v_p \) можно выразить через \( v_s \): Из условия о том, что сын движется быстрее родителей, \[ v_s > v_p \] Пусть скорость родителей меньше, и предположим \( v_p = \frac{70}{k} \) (где \( k > 1 \) - некоторая константа).

Используя аналогичные уравнения по времени, получаем: \[ t_{родителей} = \frac{800 \cdot k}{70}. \] Скорость и время можно самостоятельно установить, зная значение k, но из ранее найденного значения \( v_s \), возможно вспомнить, что когда сын прошёл до 800 шагов, по отношению к родителям, это время также дает нам возможность вычислить \( v_p \).

Таким образом, решая уравнения с равенствами, получите значение по отношению \( t_{родителей} \), пользуясь временем.

Теперь, чтобы увидеть, сколько времени потребуется родителям после встречи, достаточно понять, после решения вывести окончательное значение шага относительно времени, которое необходимо им, чтобы дойти до конечной точки.

Отметив все шаги, можно прийти к выводу, что:

Ответ – родители дойдут до озера примерно через 8.57 минут(/то есть их дорога занимает время тоже в 8.57 min после удара с сыном).