Число 328_16 делится на каждую из своих цифр. Восстановите пропущенную цифру

Для решения задачи найдем пропущенную цифру в числе 328_16, зная, что оно должно делиться на каждую из своих цифр.

Сначала обозначим пропущенную цифру как \( x \). Получим число \( 328x_{16} \). Это число можно представить в десятичной системе следующим образом:

\[ 3 \cdot 16^3 + 2 \cdot 16^2 + 8 \cdot 16^1 + x \cdot 16^0 = 3 \cdot 4096 + 2 \cdot 256 + 8 \cdot 16 + x = 12288 + 512 + 128 + x = 12828 + x \]

Теперь, чтобы число делилось на каждую из своих цифр (3, 2, 8 и \( x \)), оно должно быть кратно 3, 2, 8 и \( x \).

1. Проверим делимость на 2: Число делится на 2, если последняя цифра четная. Это значит, что \( x \) должно быть четным (0, 2, 4, 6 или 8).

2. Проверим делимость на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр для нашего числа: \[ 3 + 2 + 8 + x = 13 + x \] Чтобы это число делилось на 3, \( 13 + x \) должно давать в остатке 0 при делении на 3.

3. Проверим делимость на 8: Число делится на 8, если последние три цифры делятся на 8. Последние три цифры для числа будут \( 28x_{10} \). Значит, \( 280 + x \) должно делиться на 8.

Теперь рассмотрим возможные четные значения для \( x \):

• Если \( x = 0 \):

  • Сумма: \( 13 + 0 = 13 \) (не делится на 3)
  • Последние три: 280 делится на 8.

• Если \( x = 2 \):

  • Сумма: \( 13 + 2 = 15 \) (делится на 3)
  • Последние три: 282 не делится на 8.

• Если \( x = 4 \):

  • Сумма: \( 13 + 4 = 17 \) (не делится на 3)
  • Последние три: 284 не делится на 8.

• Если \( x = 6 \):

  • Сумма: \( 13 + 6 = 19 \) (не делится на 3)
  • Последние три: 286 не делится на 8.

• Если \( x = 8 \):

  • Сумма: \( 13 + 8 = 21 \) (делится на 3)
  • Последние три: 288 делится на 8.

Таким образом, единственным подходящим значением для \( x \), которое удовлетворяет условиям делимости, является 8.

Итак, пропущенная цифра в числе 328_16 — это 8. Полученное число 3288 делится на каждую из своих цифр: 3, 2, 8 и 8.