Найтиде все значения m, при каждом из которых неравенство верно при любых значениях x: 3x²-4x+m>0

Чтобы найти все значения \( m \), при которых неравенство \( 3x^2 - 4x + m > 0 \) выполняется при любых значениях \( x \), необходимо рассмотреть квадратный треугольник и его коэффициенты.

Рассматриваемый квадратный трёхчлен имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 3 \), \( b = -4 \) и \( c = m \). Условия для того, чтобы данный трёхчлен был положительным при всех \( x \), сводятся к следующему:

1. \( a > 0 \): В нашем случае \( a = 3 \), что удовлетворяет этому условию.
2. Дискриминант \( D < 0 \): Для того чтобы неравенство было верным при всех \( x \), его график не должен пересекать ось \( x \). Дискриминант рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 16 - 12m \] Для отсутствия корней необходимо, чтобы \( D < 0 \): \[ 16 - 12m < 0 \] Перепишем это неравенство: \[ 16 < 12m \] Делим обе стороны на 12 (учитывая, что 12 > 0): \[ \frac{16}{12} < m \] Упрощаем дробь: \[ \frac{4}{3} < m \] Это означает, что \( m > \frac{4}{3} \).

Таким образом, все значения \( m \), при которых неравенство \( 3x^2 - 4x + m > 0 \) выполняется для любых \( x \), находятся в интервале: \[ m > \frac{4}{3} \]