Имеется 8 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики так, что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шаров разных цветов в каждой коробке. Эти числа он написал на коробках. Оказалось что было написано восемь разных чисел. Какое минимальное количество может лежать суммарно во всех коробках

Для решения данной задачи используем следующее рассуждение.

Пусть в \( i \)-й коробке содержится \( b_i \) синих и \( r_i \) красных шариков. Разница между количеством шаров разных цветов в каждой коробке может быть выражена как \( |b_i - r_i| \). Из условия нам известно, что для восьми коробок указаны восемь различных значений этой разницы.

Для получения минимального количества шариков во всех коробках, рассмотрим наиболее простой случай, в котором разница равна \( d_i \) для \( i = 1, 2, \ldots, 8 \), где все \( d_i \) различны. Мы можем выбрать значения для \( d_i \) такими, что:

\[ d_1 = 1, d_2 = 2, d_3 = 3, d_4 = 4, d_5 = 5, d_6 = 6, d_7 = 7, d_8 = 8. \]

Чтобы минимизировать общее количество шариков в коробках, нам нужно, чтобы разность между количеством синих и красных шариков в каждой коробке была выражена следующим образом:

1. Для каждой коробки с разностью \( d_i \) мы можем взять следующее сочетание шариков:
   • \( b_i = d_i + 1 \) (синих),
   • \( r_i = 1 \) (красных) для каждой коробки \( i \).

Таким образом, получаем:

1. \( b_1 = 2, r_1 = 1 \) (разница 1),
2. \( b_2 = 3, r_2 = 1 \) (разница 2),
3. \( b_3 = 4, r_3 = 1 \) (разница 3),
4. \( b_4 = 5, r_4 = 1 \) (разница 4),
5. \( b_5 = 6, r_5 = 1 \) (разница 5),
6. \( b_6 = 7, r_6 = 1 \) (разница 6),
7. \( b_7 = 8, r_7 = 1 \) (разница 7),
8. \( b_8 = 9, r_8 = 1 \) (разница 8).

Теперь посчитаем общее количество шариков во всех коробках:

\[ \text{Общее количество} = (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1) + (7+1) + (8+1) + (9+1) = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 52. \]

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать суммарно во всех коробках, равно 52.