Nº 3 Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу…

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с анализа условий.

У нас есть 13 коробок, и в каждой из них находится хотя бы один синий и один красный шарик. Коля вычисляет разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке и записывает так, что у нас получается 13 различных значений разности.

Обозначим количество синих шариков в i-й коробке как \( S_i \), а количество красных шариков как \( R_i \). Тогда разница между количествами шариков в каждой коробке будет равна \( |S_i - R_i| \). Поскольку разности должны быть различны и представлены 13 разными числами, это означает, что они могут принимать значения от 1 до 13.

Теперь важно понять, как эти разности могут быть построены при условии, что общее количество синих и красных шариков одинаково, т.е. \( \sum_{i=1}^{13} S_i = \sum_{i=1}^{13} R_i \).

Поскольку разности различны и могут принимать значения от 1 до 13, предположим, что для каждой коробки \( i \) разность равна \( d_i \), где \( d_i \) - это одно из значений от 1 до 13. Таким образом, можно представить количество шариков следующим образом:

• Если \( S_i > R_i \), то \( S_i = R_i + d_i \).
• Если \( R_i > S_i \), то \( R_i = S_i + d_i \).

Рассмотрим вариант, когда разности представлены как \( 1, 2, 3, \ldots, 13 \). Чтобы минимизировать общее количество шариков, можно использовать самые простые числа:

1. Для каждой коробки можно взять разности 1, 2, ..., 13 и построить количество шариков.

Например:

• В первой коробке (разность 1): \( S_1 = 2, R_1 = 1 \) (итого 3 шарика)
• Во второй коробке (разность 2): \( S_2 = 3, R_2 = 1 \) (итого 4 шарика)
• В третьей коробке (разность 3): \( S_3 = 4, R_3 = 1 \) (итого 5 шариков)
• И так далее.

Если взять для каждой коробки по одному красному и по одному синему шарики, увеличивая количество шариков различным образом, мы можем сформировать следующее уравнение:

\[ \sum_{i=1}^{13} S_i = n + (1+2+\ldots+13) \text{ и } \sum_{i=1}^{13} R_i = n \]

где \( n \) — это минимальное количество красных шариков (по одному), а \( (1+2+\ldots+13) \) — это сумма разностей, которая равняется 91.

Теперь общее количество шариков: каждый коробка содержит не менее 2 шариков, а с учетом разностей необходимо учитывать дополнительные шарики.

Таким образом, минимальное количество будет:

\[ \text{Минимальное общее количество шариков} = 2 \times 13 + 91 = 26 + 91 = 117. \]

Таким образом, минимальное количество шариков, которое может лежать в сумме во всех коробках, равно 117.