Андрей отправился гулять по квадрату 100×100, от левого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по нижней строке до предпоследнего столбца, поворачивает налево, доходит до третьей сверху строки, поворачивает на лево, доходит до четвёртого слева столбца и.т.д пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 100×100

Чтобы определить длину пути, который Андрей проходит по квадрату 100×100, давайте внимательно проанализируем его движения.

1. Начальное положение: Андрей начинает в левом нижнем углу (в координатах (1, 1)).
2. Первый этап: Он идет по нижней строке до предпоследнего столбца. Это значит, что он движется от (1, 1) до (1, 99), что составляет 98 клеток.
3. Второй этап: Затем он поворачивает налево и идет до третьей сверху строки. Это путь от (1, 99) до (3, 99), что также составляет 2 клетки.
4. Третий этап: Далее поворот налево и движение до четвёртого слева столбца (в данном случае, это будет столбец 96). То есть, он идет от (3, 99) до (3, 96), что составляет 3 клетки.
5. Четвертый этап: Следующий поворот налево и движение до пятой сверху строки (это строка 7). Он идет от (3, 96) до (7, 96), что составляет 4 клетки.
6. Пятый этап: Поворачивает налево и движется до пятого слева столбца (это будет столбец 92). Он идет от (7, 96) до (7, 92), что составляет 4 клетки.
7. Процесс продолжается, увеличивая количество клеток на каждом этапе.

Каждый этап добавляет к длине пути по одной клетке больше, чем предыдущий.

Мы можем выразить длину пути следующим образом:

• Количество клеток на каждом этапе: 98 (восток) + 2 (север) + 3 (запад) + 4 (север) + 4 (запад) и так далее.
• По сути, это создаёт последовательность, в которой каждое направление добавляет по 1 клетке больше, чем предыдущее, при условии, что мы чередуем направления.

Давайте посчитаем общее количество шагов:

1. Движение "восток": 98
2. Движение "север": 2 + 4 + 6 + ... (до 50) – это чётные числа от 2 до 100.
3. Движение "запад": 3 + 5 + ... (до 49) – это нечётные числа от 3 до 99.

Таким образом, мы видим, что длина пути состоит из чисел, которые стремятся к 100. К окончательному результату мы можем прийти, сложив все шаги.

Формула для нахождения суммы:

• Для четных чисел от 2 до 100: \( \text{Sum} = 2 + 4 + 6 + \ldots + 100 = \frac{n}{2} \cdot (a + l) \), где \( n \) – количество членов.
• Для нечётных чисел от 3 до 99: аналогичная формула.

Таким образом, проходя через все этапы и складывая шаги, длина пути для квадрата 100×100 приближается к 198.

Итак, длина пути для доски 100×100 составляет 198 клеток.