Андрей отправился гулять по квадрату 100×100, от левого нижнего угла к центру. Сперва он идёт по нижней строке до предпоследнего столбца, поворачивает налево, доходит до третьей сверху строки, поворачивает на лево, доходит до четвёртого слева столбца и.т.д пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 100×100

Чтобы определить длину пути Андрея на квадратной сетке размером 100×100, давайте проанализируем его движение по шагам.

1. Начальное положение: Андрей начинает в левом нижнем углу, который можно обозначить координатами (1, 1), если считать от 1 до 100. Центр квадрата 100×100 будет находиться между клетками (50, 50), (50, 51), (51, 50) и (51, 51).

2. Первый этап пути: Он идет вправо по нижней строке до предпоследнего столбца (98-й столбец). Этот участок пути составляет 98 - 1 + 1 = 98 клеток.

3. Поворот налево: Затем он поворачивает налево и идет вверх до третьей строки сверху. Поскольку низ идет от 1 до 100, это означает, что он поднимается до строки 98 (98, 98) и доходит до строки 97 (97, 98), таким образом, это 97 - 3 + 1 = 95 клеток.

4. Следующий поворот: Далее он снова поворачивает налево и идет влево до четвёртого столбца слева. Этот участок пути идет от 98-го до 4-го столбца. Это 98 - 4 + 1 = 95 клеток.

Каждый раз, когда он поворачивает налево, он делает это последовательно, уменьшает количество клеток, которые он проходит по вертикали и горизонтали.

Таким образом, путь будет выглядеть так:

• Ход вправо: 98 клеток
• Ход вверх: 95 клеток
• Ход влево: 95 клеток
• Ход вниз: 92 клетки (заметьте, что длина последующих ходов также уменьшится на 2 клеток, так как он переходит к следующему набору клеток)

Эта последовательность продолжается, и длина каждого хода будет уменьшаться на 2.

Общая длина пути будет равна сумме всех этих шагов:

1. 98
2. 95
3. 92
4. 89
5. 86
6. 83
7. 80
8. 77
9. 74
10. 71
11. 68
12. 65
13. 62
14. 59
15. 56
16. 53
17. 50
18. 47
19. 44
20. 41
21. 38
22. 35
23. 32
24. 29
25. 26
26. 23
27. 20
28. 17
29. 14
30. 11
31. 8
32. 5
33. 2

Теперь суммируем:

\( 98 + 95 + 92 + 89 + 86 + 83 + 80 + 77 + 74 + 71 + 68 + 65 + 62 + 59 + 56 + 53 + 50 + 47 + 44 + 41 + 38 + 35 + 32 + 29 + 26 + 23 + 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2 \)

После подсчета, общая длина пути составит 490 клеток. Таким образом, длина пути для доски 100×100 равна 490 клеткам.