10. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 20 м/с, а вторую — со скоростью 30 м/с. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
Чтобы найти среднюю скорость автомобиля за весь путь, нам нужно использовать формулу для средней скорости:
\[ V_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \]
где \( S_{\text{общ}} \) — это общий путь, а \( t_{\text{общ}} \) — общее время в пути.
Обозначим расстояние: Пусть весь путь составит \( S \). Тогда первая половина пути — это \( \frac{S}{2} \), а вторая половина тоже \( \frac{S}{2} \).
Вычисляем время для каждой половины пути:
- Время \( t_1 \) для первой половины пути со скоростью \( 20 \, \text{м/с} \): \[ t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{20} = \frac{S}{40} \]
- Время \( t_2 \) для второй половины пути со скоростью \( 30 \, \text{м/с} \): \[ t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{30} = \frac{S}{60} \]
Находим общее время: \[ t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = \frac{S}{40} + \frac{S}{60} \]
Чтобы сложить дроби, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 40 и 60, которое равно 120. Приведем дроби к общему знаменателю:
\[ t_{\text{общ}} = \frac{S}{40} + \frac{S}{60} = \frac{3S}{120} + \frac{2S}{120} = \frac{5S}{120} = \frac{S}{24} \]
- Теперь подставим значения в формулу средней скорости: \[ V_{\text{ср}} = \frac{S}{t_{\text{общ}}} = \frac{S}{\frac{S}{24}} = 24 \, \text{м/с} \]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на всём пути составляет 24 м/с.
