Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 98 до 111. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Чтобы решить эту задачу, давайте проанализируем ее шаг за шагом.

У нас есть шкафчики с номерами от 98 до 111. Барабашка начинает произносить натуральные числа от 1 и каждый шкафчик подпрыгивает, если его номер делится на произносимое число.

1. Выявление числа, при котором ни один шкафчик не отреагировал:
   • Это число должно быть больше 111, поскольку все шкафчики с номерами от 98 до 111 отреагируют на все числа от 1 до 111 (даже если число не делится, оно все равно будет 'подходить', пока мы не превысим 111). Например, как только Барабашка произнесет 112, ни один шкафчик не подпрыгнет, потому что все номера шкафчиков меньше 112.

Таким образом, ответ на вопрос "Какое это было число?" – это 112.

2. Наибольшее количество раз, которое шкафчик может подпрыгнуть:
   • Чтобы определить, какой номер шкафа подпрыгнул наибольшее число раз, мы должны найти, сколько натуральных чисел от 1 до 111 делят каждый номер шкафчика.

Рассмотрим номера шкафчиков от 98 до 111 и определим, сколько чисел от 1 до 111 делят каждый из этих номеров.

• Для номер 98 (делится на 1, 2, 7, 14, 49, 98) – 6 раз.
• Для номер 99 (делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99) – 6 раз.
• Для номер 100 (делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100) – 9 раз.
• Для номер 101 (делится на 1, 101) – 2 раза.
• Для номер 102 (делится на 1, 2, 3, 6, 17, 51, 102) – 7 раз.
• Для номер 103 (делится на 1, 103) – 2 раза.
• Для номер 104 (делится на 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104) – 8 раз.
• Для номер 105 (делится на 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105) – 8 раз.
• Для номер 106 (делится на 1, 2, 53, 106) – 4 раза.
• Для номер 107 (делится на 1, 107) – 2 раза.
• Для номер 108 (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108) – 12 раз.
• Для номер 109 (делится на 1, 109) – 2 раза.
• Для номер 110 (делится на 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110) – 8 раз.
• Для номер 111 (делится на 1, 3, 37, 111) – 4 раза.

Таким образом, наибольшее число раз, которое понравилось шкафчику:

Шкафчик номер 108 подпрыгнул 12 раз, что является максимальным значением.

Подводя итоги:

• Число, после которого ни один шкафчик не среагировал: 112.
• Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз: 108.