Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80, от левого верхнего угла к центру. Сперва он идет по верхней строке до предпоследнего столоца, поворачивает направо, доходит до третьей…
Дима отправился гулять по квадрату 80 × 80, от левого верхнего угла к центру. Сперва он идет по верхней строке до предпоследнего столоца, поворачивает направо, доходит до третьей снизу строки, поворачивает направо, доходит до четвёртого слева столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8 × 8, он состоит из 16 клеток. Определите длину пути для доски 80 × 80.
Давайте проанализируем, как Дима движется по квадрату 80 × 80.
Сначала Дима идет по верхней строке до предпоследнего столбца. Это означает, что он проходит 79 клеток (от (1,1) до (1,79)). Затем он поворачивает направо и идет по третьей строке снизу.
Так как у нас квадрат размером 80 × 80, третья строка снизу — это строка 78. Дима проходит от (1,79) до (78,79), что составляет 77 клеток.
Далее он снова поворачивает направо, и идет по четвёртому столбцу слева, что соответствует столбцу 77. Он движется от (78,79) до (78,77) — это 1 клетка.
Дима продолжает двигаться по описанному алгоритму, и в каждом из направлений он будет проходить различные количества клеток по спирали, сокращая каждый раз крайние клетки.
Для более обобщенного понимания, путь можно представить как последовательность:
- Идти вправо по строке (n-1) раз.
- Идти вниз (n-2) раз.
- Идти влево (n-1) раз.
- Идти вверх (n-2) раз.
Эта последовательность будет повторяться, пока он не дойдет до центральных клеток.
Длина пути для квадрата 80 × 80 будет составлять:
- В первом проходе: 79 (вправо) + 77 (вниз) + 1 (влево) + 1 (вверх) = 158
- В следующем цикле: 76 (вправо) + 74 (вниз) + 1 (влево) + 1 (вверх) = 152
- И так далее...
Таким образом, в каждом следующем цикле длина дороги будет постепенно уменьшаться, и суммируя все длины, мы можем найти итоговую длину пути.
В конечном итоге, для квадрата размером 80 × 80 будет следующее:
- Первая спираль: 79 + 77 + 1 + 1 = 158
- Вторая спираль: 77 + 75 + 1 + 1 = 154
- Третья спираль: 75 + 73 + 1 + 1 = 150
- Четвёртая спираль: 73 + 71 + 1 + 1 = 146
Так продолжается до тех пор, пока не достигнут центральные клетки.
Находить общую длину можно познакомив метод суммирования этих последовательностей или просто примером, а лучше всего — сложить их по числам отдельно и сложить.
Если рассматривать структуру, видно, что длина пути для квадрата 80 × 80 в итоге составит примерно 640 клеток, при условии, что все ходы суммируются по спирали вплоть до достижения центра.
