Постройте график функции у=1-2x-3x²/x+1 Определите, при каких значениях параметра с прямая, заданная уравнением у = сх, не имеет с графиком функции ни одной общей точки.
Чтобы построить график функции \( y = \frac{1 - 2x - 3x^2}{x + 1} \), сначала упростим её:
- Обозначим числитель функции: \( f(x) = 1 - 2x - 3x^2 \).
- Комбинируем функцию: \( y = \frac{f(x)}{x + 1} \).
Для построения графика этой функции нам нужно определить её поведение, включая нули и вертикальные ассимптоты.
Поиск нулей функции
Для нахождения нулей функции \( f(x) = 0 \): \[ 1 - 2x - 3x^2 = 0. \] Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 4 + 12 = 16. \] Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{-6} = -\frac{1}{3}, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{-6} = \frac{1}{3}. \]
Таким образом, нули функции — это \( x_1 = -\frac{1}{3} \) и \( x_2 = \frac{1}{3} \).
Определение ассимптот
Вертикальная ассимптота у функции появится, если \( x + 1 = 0 \), что дает \( x = -1 \).
Построение графика
Теперь мы можем обозначить найденные нули и ассимптоты на графике. Значения функции около вертикальной ассимптоты \( x = -1 \) ведут к тому, что функция будет стремиться к бесконечности при приближении к этой точке.
Исследование пересечения с прямой
Теперь определим значение параметра \( c \), при котором прямая \( y = cx \) не пересекает график функции. Это условие значит, что система уравнений \( \frac{1 - 2x - 3x^2}{x + 1} = cx \) не имеет решений.
Переписываем это уравнение: \[ 1 - 2x - 3x^2 = cx(x + 1) \implies 1 - 2x - 3x^2 = cx^2 + cx. \]
Перепишем его в стандартной форме: \[ (3 + c)x^2 + (c + 2)x + 1 = 0. \]
Для того чтобы не существовало решений (график прямой не пересекался с графиком функции), необходимо, чтобы дискриминант данного квадратного уравнения был меньше нуля: \[ D' = (c + 2)^2 - 4(3 + c) < 0. \]
Решим неравенство: \[ (c + 2)^2 < 4(3 + c) \implies c^2 + 4c + 4 < 12 + 4c \implies c^2 < 8. \]
Следовательно, при \( -\sqrt{8} < c < \sqrt{8} \) прямая не имеет общих точек с графиком функции.
Таким образом, значения параметра \( c \) для решения задачи — это диапазон \( c \in (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).
