Известно, что сумма квадратов корней трехчлена x² + 2аx + 2b равна сумме квадратов корней трёхчлена x²+2bx+ 2а. Чему равно a+b, если а≠ b?

Для решения данной задачи давайте обозначим корни трёхчлена \(x^2 + 2ax + 2b\) как \(r_1\) и \(r_2\), а корни трёхчлена \(x^2 + 2bx + 2a\) как \(s_1\) и \(s_2\).

Согласно теореме Виета, для первого трёхчлена:

• Сумма корней: \(r_1 + r_2 = -2a\)
• Произведение корней: \(r_1 r_2 = 2b\)

Для второго трёхчлена:

• Сумма корней: \(s_1 + s_2 = -2b\)
• Произведение корней: \(s_1 s_2 = 2a\)

Теперь найдем сумму квадратов корней для каждого трёхчлена. Сумма квадратов корней может быть найдена с использованием следующей формулы: \[ r_1^2 + r_2^2 = (r_1 + r_2)^2 - 2r_1 r_2 \]

Подставим известные значения: \[ r_1^2 + r_2^2 = (-2a)^2 - 2(2b) = 4a^2 - 4b \]

Аналогично для второго трёхчлена: \[ s_1^2 + s_2^2 = (s_1 + s_2)^2 - 2s_1 s_2 \] \[ s_1^2 + s_2^2 = (-2b)^2 - 2(2a) = 4b^2 - 4a \]

По условию задачи, эти суммы равны: \[ 4a^2 - 4b = 4b^2 - 4a \]

Упростим это уравнение, избавившись от множителей 4: \[ a^2 - b = b^2 - a \]

Приведем все элементы к одной стороне: \[ a^2 - b^2 + a - b = 0 \]

Теперь можно воспользоваться разностью квадратов: \[ (a - b)(a + b) + (a - b) = 0 \]

Факторизуем: \[ (a - b)(a + b + 1) = 0 \]

Поскольку по условию \(a \neq b\), это означает, что: \[ a + b + 1 = 0 \implies a + b = -1 \]

Таким образом, ответ на вопрос о том, чему равно \(a + b\), равен \(-1\).