На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя - на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 19 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество задач, которые решили Катя, Мотя, Федя и Паша, следующими переменными:

• \( F \) — количество задач, решенных Федей,
• \( K = F + 5 \) — количество задач, решенных Катей,
• \( P \) — количество задач, решенных Пашей,
• \( M = P + 6 \) — количество задач, решенных Мотей.

Теперь у нас есть четыре равенства:

1. \( K = F + 5 \)
2. \( M = P + 6 \)

Согласно условию, сумма количества задач, решенных двумя лучшими участниками, составляет 19. Это может быть любая из следующих пар:

1. Катя и Мотя
2. Катя и Паша
3. Федя и Мотя
4. Федя и Паша

Рассмотрим все возможные варианты, где сумма равна 19:

1. Катя и Мотя: \[ (F + 5) + (P + 6) = 19 \implies F + P + 11 = 19 \implies F + P = 8 \]

2. Катя и Паша: \[ (F + 5) + P = 19 \implies F + P + 5 = 19 \implies F + P = 14 \]

3. Федя и Мотя: \[ F + (P + 6) = 19 \implies F + P + 6 = 19 \implies F + P = 13 \]

4. Федя и Паша: \[ F + P = 19 \]

Теперь рассмотрим эти уравнения с учетом, что все четыре участника решили разное количество задач и что \( F, K, P, M \) — все разные.

Теперь найдем возможные решения для каждого из уравнений, учитывая, что все значения должны быть положительными и различаться.

1. Для уравнения \( F + P = 8 \):

   • Возможные пары \( (F, P) \): \( (1, 7), (2, 6), (3, 5) \)
   • Тогда для каждой пары \( (F, P) \):
     • Если \( F=1 \), \( P=7 \) → \( K=6 \), \( M=13 \) (не подходит, поскольку 13 > 7)
     • Если \( F=2 \), \( P=6 \) → \( K=7 \), \( M=12 \) (не подходит, поскольку 12 > 6)
     • Если \( F=3 \), \( P=5 \) → \( K=8 \), \( M=11 \) (все разные, подходит)

   В этом случае \( F + K + P + M = 3 + 8 + 5 + 11 = 27 \).

2. Для уравнения \( F + P = 14 \):

   • Возможные пары \( (F, P) \): \( (8, 6), (9, 5), (10, 4), (11, 3), (12, 2), (13, 1) \) - но не подходит, так как значения будут повторяться.

3. Для уравнения \( F + P = 13 \):

   • Возможные пары \( (7, 6), (8, 5), (9, 4), (10, 3), (11, 2), (12, 1) \) - но также не подходят.

4. Для уравнения \( F + P = 19 \):

   • Опять же, значения приведут к дублированию.

Таким образом, единственный подходящий вариант – это когда \( F = 3, P = 5, K = 8, M = 11 \).

Сумма задач во всех четырех работах: \[ 3 + 8 + 5 + 11 = 27 \]

Итак, общее количество задач, решенных всеми четырьмя участниками, составляет 27. Других подходящих вариантов в рамках условий задачи не найдено.