В треугольник со сторонами 5, 6 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?

Для нахождения наименьшего расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, можно воспользоваться некоторыми свойствами треугольника и его вписанной окружности.

В треугольнике с длинами сторон \(a = 5\), \(b = 6\) и \(c = 8\) можно определить радиус вписанной окружности \(r\) по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \(S\) - площадь треугольника, а \(p\) - полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр \(p\):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5 \]

Теперь найдем площадь \(S\) треугольника, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{9.5(9.5 - 5)(9.5 - 6)(9.5 - 8)} = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} \]

Выполнив вычисления, получим:

\[ S \approx \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5} \approx \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 5.25} = \sqrt{9.5 \cdot 23.625} \approx \sqrt{224.6875} \approx 15 \]

Теперь найдем радиус \(r\):

\[ r \approx \frac{15}{9.5} \approx 1.5789 \]

Теперь, зная радиус, расстояния от каждой вершины до точки касания можно определить через координаты треугольника, однако можно заметить, что для углов с меньшими сторонами расстояния будут меньшими.

Первая сторона \(a = 5\) (ближайшая точка касания на стороне) даст расстояние:

\[ d_a = r = 1.5789 \]

Аналогично, для сторон \(b\) и \(c\):

\[ d_b = r = 1.5789 \] \[ d_c = r = 1.5789 \]

Чтобы найти минимальное расстояние от вершины до стороны, считается, что наименьшее расстояние обычно будет равно радиусу. Таким образом, наименьшее расстояние от каждой вершины треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности будет:

\[ \text{Наименьшее расстояние} \approx 1.5789 \]

Таким образом, ответ — примерно 1.58.