В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Для нахождения расстояния от каждой вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, сначала нужно найти радиус вписанной окружности и площадь треугольника.
Даны стороны треугольника: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \).
Находим полупериметр треугольника: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = 8.5 \]
Находим площадь треугольника по формуле Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Подставляем значения: \[ S = \sqrt{8.5(8.5 - 4)(8.5 - 5)(8.5 - 8)} = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \]
Теперь вычислим каждую часть:
- \( 8.5 - 4 = 4.5 \)
- \( 8.5 - 5 = 3.5 \)
- \( 8.5 - 8 = 0.5 \)
Площадь: \[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \approx \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \approx \sqrt{67.875} \approx 8.23 \]
Находим радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{8.23}{8.5} \approx 0.97 \]
Теперь нужно найти расстояния от вершин до точек касания вписанной окружности:
- Расстояние от вершины A до точки касания с стороной a: \[ d_A = r = 0.97 \]
- Расстояние от вершины B до точки касания с стороной b: \[ d_B = r = 0.97 \]
- Расстояние от вершины C до точки касания с стороной c: \[ d_C = r = 0.97 \]
Поскольку радиус одинаков для всех трех вершин, наименьшее расстояние от любой из вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности равно \( 0.97 \).
Таким образом, наименьшее из этих расстояний составляет приблизительно \( 0.97 \).
