7. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен 240°, а высота конуса 5 V 5. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, используем формулу:

\[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания конуса, а \( S_{\text{бок}} \) — площадь боковой поверхности.

1. Площадь основания \( S_{\text{осн}} \)

Основание конуса является кругом, и площадь круга вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 \]

где \( r \) — радиус основания.

2. Площадь боковой поверхности \( S_{\text{бок}} \)

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l \]

где \( l \) — длина образующей конуса.

Длина образующей \( l \) может быть найдена с помощью центрального угла. Если угол в развертке боковой поверхности равен 240°, то соответствующая доля окружности считается так:

Длина дуги \( L \) равна 240° из 360°:

\[ L = 2\pi r \cdot \frac{240}{360} = \frac{2\pi r \cdot 240}{360} = \frac{2\pi r \cdot 2}{3} = \frac{4\pi r}{3} \]

Эта длина дуги равна длине образующей, то есть:

\[ l = \frac{4r}{3} \]

Теперь мы можем выразить радиус в зависимости от высоты конуса. Согласно теореме Пифагора:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

где \( h \) — высота. Подставим высоту \( h = 5 \):

\[ l^2 = r^2 + 5^2 \] \[ l^2 = r^2 + 25 \]

Теперь подставим \( l = \frac{4r}{3} \):

\[ \left(\frac{4r}{3}\right)^2 = r^2 + 25 \] \[ \frac{16r^2}{9} = r^2 + 25 \]

Переносим все в единую формулу:

\[ \frac{16r^2}{9} - r^2 = 25 \] \[ \frac{16r^2 - 9r^2}{9} = 25 \] \[ \frac{7r^2}{9} = 25 \] \[ 7r^2 = 225 \] \[ r^2 = \frac{225}{7} \] \[ r = \sqrt{\frac{225}{7}} = \frac{15}{\sqrt{7}} \]

Теперь можем найти площадь основания:

\[ S_{\text{осн}} = \pi \left(\frac{15}{\sqrt{7}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{225}{7} = \frac{225\pi}{7} \]

Теперь находим площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot \frac{15}{\sqrt{7}} \cdot \frac{4 \cdot \frac{15}{\sqrt{7}}}{3} = \pi \cdot \frac{15}{\sqrt{7}} \cdot \frac{60}{3\sqrt{7}} = \pi \cdot \frac{15 \cdot 20}{7} = \frac{300\pi}{7} \]

Теперь можем найти полную площадь поверхности:

\[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \frac{225\pi}{7} + \frac{300\pi}{7} = \frac{525\pi}{7} \]

Таким образом, площадь полной поверхности конуса равна:

\[ S_{\text{пол}} = \frac{525\pi}{7} \]