В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Чтобы найти наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности, нам сначала нужно определить радиус вписанной окружности (\( r \)) и семи периметр треугольника.
Сначала вычислим периметр треугольника:
\[ P = a + b + c = 4 + 5 + 8 = 17. \]
Теперь вычислим полупериметр \( s \):
\[ s = \frac{P}{2} = \frac{17}{2} = 8.5. \]
Теперь мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{s}, \]
где \( S \) — площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой Герона:
\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}. \]
Подставим значения сторон:
\[ S = \sqrt{8.5(8.5-4)(8.5-5)(8.5-8)} = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5}. \]
Теперь вычислим:
- \( 8.5 - 4 = 4.5 \)
- \( 8.5 - 5 = 3.5 \)
- \( 8.5 - 8 = 0.5 \)
Теперь подставим:
\[ S = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5}. \]
Для удобства можем вычислить эту площадь:
\[ S \approx \sqrt{8.5 \times 4.5 \times 3.5 \times 0.5} \approx \sqrt{8.5 \cdot 7.875} \approx \sqrt{67.1875} \approx 8.2. \]
Теперь подставим значение площади в формулу для радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{s} \approx \frac{8.2}{8.5} \approx 0.9647. \]
Теперь, чтобы найти расстояния от каждой вершины треугольника до ближайшей точки касания, нам нужно воспользоваться следующими формулами:
- Расстояние от вершины A до ближайшей точки касания \( d_A = r \).
- Расстояние от вершины B до ближайшей точки касания \( d_B = r \).
- Расстояние от вершины C до ближайшей точки касания \( d_C = r \).
Так как радиус одинаков для всех сторон, следовательно, близкие расстояния до точки касания будут одинаковыми для всех. Однако на поиски наименьшего расстояния нам нужна длина от каждой стороны, так как вписанная окружность касается каждой стороны.
Расстояния будут:
- \( d_A = s - a = 8.5 - 4 = 4.5 \)
- \( d_B = s - b = 8.5 - 5 = 3.5 \)
- \( d_C = s - c = 8.5 - 8 = 0.5 \)
Наименьшее из этих расстояний:
\[ \min(4.5, 3.5, 0.5) = 0.5. \]
Таким образом, наименьшее расстояние от вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности равно 0.5.
