Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 67 до 79. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?

Для решения задачи сначала определим, какие шкафчики есть: они имеют номера с 67 по 79.

Мы будем произносить натуральные числа, начиная с 1, и проверять, делятся ли номера шкафчиков на произносимое число. Если номер шкафчика делится на это число, шкафчик подпрыгивает.

Давайте проверим, каким числам соответствуют каждый шкафчик:

• Шкафчик 67: делится на 1, 67
• Шкафчик 68: делится на 1, 2, 4, 17, 34, 68
• Шкафчик 69: делится на 1, 3, 23, 69
• Шкафчик 70: делится на 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
• Шкафчик 71: делится на 1, 71
• Шкафчик 72: делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
• Шкафчик 73: делится на 1, 73
• Шкафчик 74: делится на 1, 2, 37, 74
• Шкафчик 75: делится на 1, 3, 5, 15, 25, 75
• Шкафчик 76: делится на 1, 2, 4, 19, 38, 76
• Шкафчик 77: делится на 1, 7, 11, 77
• Шкафчик 78: делится на 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78
• Шкафчик 79: делится на 1, 79

Следовательно, шкафчики будут продолжать подпрыгивать на числа, которые являются делителями их номеров. Процесс будет продолжаться до тех пор, пока не произнесем число, после которого ни один шкафчик не подпрыгнет.

Теперь посмотрим на номер 80. Это первое число, которое больше 79 и не делится ни на одно из чисел от 67 до 79, так как все эти шкафчики «отвечают» на числа от 1 до 79.

Таким образом, завершающее число — это 80, потому что ни один шкафчик с номерами от 67 до 79 не сможет поделиться на 80.

Теперь определим, какой шкафчик подпрыгнул наибольшее количество раз. Для этого нужно подсчитать количество чисел, которые делятся на каждый из номеров шкафчиков от 67 до 79.

• Шкафчик 67 подпрыгнул 2 раза (1, 67).
• Шкафчик 68 подпрыгнул 6 раз (1, 2, 4, 17, 34, 68).
• Шкафчик 69 подпрыгнул 4 раза (1, 3, 23, 69).
• Шкафчик 70 подпрыгнул 8 раз (1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70).
• Шкафчик 71 подпрыгнул 2 раза (1, 71).
• Шкафчик 72 подпрыгнул 12 раз (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72).
• Шкафчик 73 подпрыгнул 2 раза (1, 73).
• Шкафчик 74 подпрыгнул 4 раза (1, 2, 37, 74).
• Шкафчик 75 подпрыгнул 6 раз (1, 3, 5, 15, 25, 75).
• Шкафчик 76 подпрыгнул 6 раз (1, 2, 4, 19, 38, 76).
• Шкафчик 77 подпрыгнул 4 раза (1, 7, 11, 77).
• Шкафчик 78 подпрыгнул 8 раз (1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78).
• Шкафчик 79 подпрыгнул 2 раза (1, 79).

Из всех этих подсчетов шкафчик №72 подпрыгнул наибольшее количество раз — 12 раз.

Итак, ответ на вопросы:

1. Заключительное число, на которое ни один шкафчик не отпрыгнул, — это 80.
2. Шкафчик, который подпрыгнул наибольшее количество раз, — это шкафчик № 72.