Сколько существует целых положительных чисел, не превышающих 1771, которые не являются делителями числа 1771, но имеют с этим числом общий множитель, больший 1?

Для решения задачи сначала найдем разложение числа 1771 на простые множители. Проверим делимость 1771 на простые числа:

1. \(1771\) нечетное, значит не делится на \(2\).
2. Сумма цифр \(1 + 7 + 7 + 1 = 16\) не делится на \(3\), значит, не делится на \(3\).
3. Последняя цифра не \(0\) или \(5\), значит, не делится на \(5\).
4. Проверим делимость на \(7\): \[ 1771 \div 7 = 253 \] \(253\) — целое число, значит, \(1771 = 7 \times 253\).
5. Теперь разложим \(253\): \[ 253 \div 11 = 23 \] \(23\) — простое число, значит, \(253 = 11 \times 23\).

Итак, имеется разложение: \[ 1771 = 7 \times 11 \times 23. \]

Следовательно, общие делители чисел с \(1771\) будут включать множители \(7\), \(11\) и \(23\).

Теперь, чтобы найти целые положительные числа \(n\) с \(1 \leq n \leq 1771\), которые не являются делителями \(1771\), и имеют общий множитель с \(1771\), превышающий \(1\), давайте разберемся по шагам:

Сначала находим количество целых положительных чисел, которые являются делителями \(1771\). Делители числа \(1771\) вычисляются как произведение увеличенных на единицу множителей: \[ (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \times 2 \times 2 = 8. \] Делители \(1771\): \(1, 7, 11, 23, 77, 121, 161, 1771\).

Следующим шагом находим количество целых чисел \(n\) от \(1\) до \(1771\), которые имеют общий делитель с \(1771\) больше единицы. Это происходит, если \(n\) делится хотя бы на один из множителей \(7\), \(11\) или \(23\).

Теперь используем метод включений и исключений для нахождения количества чисел, делящихся на \(7\), \(11\) и \(23\) в пределах \(1\) до \(1771\):

• Количество чисел, делящихся на \(7\): \[ \left\lfloor \frac{1771}{7} \right\rfloor = 253. \]

• Количество чисел, делящихся на \(11\): \[ \left\lfloor \frac{1771}{11} \right\rfloor = 161. \]

• Количество чисел, делящихся на \(23\): \[ \left\lfloor \frac{1771}{23} \right\rfloor = 77. \]

Теперь считаем суммы:

• Находим общие числа между \(7\) и \(11\): \[ 7 \times 11 = 77; \quad \left\lfloor \frac{1771}{77} \right\rfloor = 23. \]

• Находим общие числа между \(7\) и \(23\): \[ 7 \times 23 = 161; \quad \left\lfloor \frac{1771}{161} \right\rfloor = 11. \]

• Находим общие числа между \(11\) и \(23\): \[ 11 \times 23 = 253; \quad \left\lfloor \frac{1771}{253} \right\rfloor = 7. \]

• Находим общие числа между \(7\), \(11\) и \(23\): \[ 7 \times 11 \times 23 = 1771; \quad \left\lfloor \frac{1771}{1771} \right\rfloor = 1. \]

Теперь суммируем: \[ N(7) + N(11) + N(23) - N(7,11) - N(7,23) - N(11,23) + N(7,11,23) = 253 + 161 + 77 - 23 - 11 - 7 + 1 = 451. \]

Количество положительных чисел \(n\), имеющих общий делитель с \(1771\):

Теперь от общего числа \(1771\) вычтем количество делителей \(1771\): \[ 451 - 8 = 443. \]

Ответ: 443 целых положительных числа, не превышающих \(1771\), являются общими делителями с \(1771\) и не являются его делителями.