Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена х2+3ax+3b равна сумме квадратов трёхчлена х2+3bx+3a.Чему равно а+b, если а не равно b
Давайте разберемся с данной задачей. Нам известно, что сумма квадратов корней одночлена \(x^2 + 3ax + 3b\) равна сумме квадратов корней одночлена \(x^2 + 3bx + 3a\).
Для любого квадратного трёхчлена \(Ax^2 + Bx + C\) сумма квадратов корней \(x_1\) и \(x_2\) выражается через коэффициенты по формуле:
\[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{B^2 - 2AC}{A^2} \]
В нашем случае:
Для первого трёхчлена \(x^2 + 3ax + 3b\):
- \(A = 1\)
- \(B = 3a\)
- \(C = 3b\)
Тогда:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3b = 9a^2 - 6b \]
Для второго трёхчлена \(x^2 + 3bx + 3a\):
- \(A = 1\)
- \(B = 3b\)
- \(C = 3a\)
Тогда:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (3b)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3a = 9b^2 - 6a \]
Теперь приравняем суммы квадратов корней:
\[ 9a^2 - 6b = 9b^2 - 6a \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ 9a^2 - 9b^2 + 6a - 6b = 0 \]
Факторизуем уравнение:
\[ 9(a^2 - b^2) + 6(a - b) = 0 \]
Применим формулу разности квадратов:
\[ 9(a-b)(a+b) + 6(a-b) = 0 \]
Факторизуем \( (a-b) \):
\[ (a - b)(9(a + b) + 6) = 0 \]
Так как \(a \neq b\), то:
\[ 9(a + b) + 6 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 9(a + b) = -6 \quad \Rightarrow \quad a + b = -\frac{2}{3} \]
Таким образом, значение \(a + b\) равно \(-\frac{2}{3}\).
