По кругу расставлены в случайном порядке все 10 цифр. Начиная с цифры 1, по часовой стрелке цифры группируются по 2. Таким образом образуются 5 двузначных чисел, и находится их…

Рассмотрим, что имеется 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), которые расставлены по кругу в случайном порядке. Сначала мы получим сумму, начиная с цифры 1, а затем найдем сумму, начиная с цифры 2 (следующей за цифрой 1).

В общем случае, если мы обозначим цифры, расположенные по кругу, как \(d_0, d_1, d_2, \ldots, d_9\), где \(d_0\) — это 1, то:

1. При группировке по 2 начиная с \(d_0\) мы получаем числа:

   • \(d_0d_1\),
   • \(d_2d_3\),
   • \(d_4d_5\),
   • \(d_6d_7\),
   • \(d_8d_9\).

   Сумма этих чисел будет равна: \[ S_1 = (10d_0 + d_1) + (10d_2 + d_3) + (10d_4 + d_5) + (10d_6 + d_7) + (10d_8 + d_9). \]

2. Теперь, если мы начнем с \(d_1\), мы получим:

   • \(d_1d_2\),
   • \(d_3d_4\),
   • \(d_5d_6\),
   • \(d_7d_8\),
   • \(d_9d_0\).

   Сумма этих чисел будет равна: \[ S_2 = (10d_1 + d_2) + (10d_3 + d_4) + (10d_5 + d_6) + (10d_7 + d_8) + (10d_9 + d_0). \]

Теперь следует найти разность \(S_1 - S_2\): \[ S_1 - S_2 = \left(10d_0 + d_1 + 10d_2 + d_3 + 10d_4 + d_5 + 10d_6 + d_7 + 10d_8 + d_9\right) - \left(10d_1 + d_2 + 10d_3 + d_4 + 10d_5 + d_6 + 10d_7 + d_8 + 10d_9 + d_0\right). \]

Упрощаем выражение: \[ S_1 - S_2 = 10d_0 - d_0 + 10d_2 - d_2 + 10d_4 - d_4 + 10d_6 - d_6 + 10d_8 - d_8 - (10d_1 - d_1 + 10d_3 - d_3 + 10d_5 - d_5 + 10d_7 - d_7 + 10d_9 - d_9). \] Это можно записать как: \[ S_1 - S_2 = 9(d_0 - d_1) + 9(d_2 - d_3) + 9(d_4 - d_5) + 9(d_6 - d_7) + 9(d_8 - d_9). \]

Следовательно, разница между суммами: \[ S_1 - S_2 = 9 \times (d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + d_4 - d_5 + d_6 - d_7 + d_8 - d_9). \]

Наименьший возможный модуль разности \(S_1 - S_2\) будет достигаться, когда сумма \(d_0 - d_1 + d_2 - d_3 + d_4 - d_5 + d_6 - d_7 + d_8 - d_9\) равна 1 или -1, в итоге получаем разность в 9 или -9.

Таким образом, наименьшая возможная разность между этими суммами (по абсолютной величине) равна \(9\).

Ответ: 9.