В треугольник со сторонами 5,6 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояние от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…

Для начала, найдем площадь треугольника с заданными сторонами. Стороны треугольника равны: \(a = 5\), \(b = 6\), и \(c = 8\).

Чтобы найти площадь, воспользуемся формулой Герона. Сначала находим полупериметр \(s\):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 8}{2} = 9.5. \]

Теперь вычислим площадь треугольника \(S\):

\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. \]

Подставляем значения:

\[ S = \sqrt{9.5 \cdot (9.5 - 5) \cdot (9.5 - 6) \cdot (9.5 - 8)} = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5}. \]

Теперь вычислим каждое из множителей:

\[ 9.5 - 5 = 4.5, \] \[ 9.5 - 6 = 3.5, \] \[ 9.5 - 8 = 1.5. \]

Подставляя:

\[ S = \sqrt{9.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5}. \]

Находим значения:

\[ 9.5 \cdot 4.5 = 42.75, \] \[ 3.5 \cdot 1.5 = 5.25, \] \[ S = \sqrt{42.75 \cdot 5.25} = \sqrt{224.4375}. \]

Теперь уточняем значение площади:

\[ S \approx 15. \]

Далее, найдем радиус вписанной окружности \(r\) по формуле:

\[ r = \frac{S}{s}. \]

Подставляем значения:

\[ r = \frac{S}{s} = \frac{S}{9.5} \approx \frac{15}{9.5} \approx 1.57895. \]

Теперь нам нужно найти расстояния от каждой из вершин треугольника до точек касания вписанной окружности. Расстояние от вершины до точки касания равно \( \frac{2S}{a} \) для стороны \(a\):

1. Для стороны \(a = 5\):

\[ d_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 15}{5} = 6. \]

2. Для стороны \(b = 6\):

\[ d_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 15}{6} = 5. \]

3. Для стороны \(c = 8\):

\[ d_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 15}{8} = 3.75. \]

Теперь находим наименьшее из этих расстояний:

\[ \min(d_a, d_b, d_c) = \min(6, 5, 3.75) = 3.75. \]

Итак, наименьшее расстояние от любой из вершин треугольника до точки касания вписанной окружности составляет:

\[ \boxed{3.75}. \]