В классном журнале записаны по алфавиту фамилии 18 учеников. Когда учитель проводит опрос, он вызывает некоторых учеников. Учитель никогда не вызывает двух учеников, чьи фамилии…

Для решения этой задачи можно использовать метод динамического программирования. Обозначим \( a_n \) как количество способов провести опрос среди \( n \) учеников, соблюдая условия.

Рассмотрим, какие возможности есть:

1. Учитель не вызывает \( n \)-го ученика. В этом случае на \( n-1 \) учениках у нас остается \( a_{n-1} \) способов.
2. Учитель вызывает \( n \)-го ученика, но не вызывает \( n-1 \)-го ученика. В этом случае мы можем учитывать \( n-2 \) учеников, поэтому количество способов будет равно \( a_{n-2} \).
3. Учитель вызывает \( n \)-й и \( (n-1) \)-й учеников, при этом не может быть вызван \( (n-2) \)-й. Таким образом, мы должны учитывать \( n-3 \) учеников, что дает \( a_{n-3} \) способов.

Теперь можем записать рекуррентное соотношение: \[ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} \]

Необходимо также задать базовые случаи:

• \( a_1 = 2 \) (вызывает 1 ученика или нет)
• \( a_2 = 4 \) (вызывает обоих, первого или второго, или не вызывает никого)
• \( a_3 = 7 \) (можно вызывать 0, 1 или 2, но не 3 подряд)

Теперь можем вычислить \( a_n \) для \( n = 18 \) по рекуррентному соотношению.

Вычислим последовательно \( a_n \) до \( n = 18 \):

• \( a_4 = a_3 + a_2 + a_1 = 7 + 4 + 2 = 13 \)
• \( a_5 = a_4 + a_3 + a_2 = 13 + 7 + 4 = 24 \)
• \( a_6 = a_5 + a_4 + a_3 = 24 + 13 + 7 = 44 \)
• \( a_7 = a_6 + a_5 + a_4 = 44 + 24 + 13 = 81 \)
• \( a_8 = a_7 + a_6 + a_5 = 81 + 44 + 24 = 149 \)
• \( a_9 = a_8 + a_7 + a_6 = 149 + 81 + 44 = 274 \)
• \( a_{10} = a_9 + a_8 + a_7 = 274 + 149 + 81 = 504 \)
• \( a_{11} = a_{10} + a_9 + a_8 = 504 + 274 + 149 = 927 \)
• \( a_{12} = a_{11} + a_{10} + a_9 = 927 + 504 + 274 = 1705 \)
• \( a_{13} = a_{12} + a_{11} + a_{10} = 1705 + 927 + 504 = 3136 \)
• \( a_{14} = a_{13} + a_{12} + a_{11} = 3136 + 1705 + 927 = 5768 \)
• \( a_{15} = a_{14} + a_{13} + a_{12} = 5768 + 3136 + 1705 = 10609 \)
• \( a_{16} = a_{15} + a_{14} + a_{13} = 10609 + 5768 + 3136 = 19513 \)
• \( a_{17} = a_{16} + a_{15} + a_{14} = 19513 + 10609 + 5768 = 35890 \)
• \( a_{18} = a_{17} + a_{16} + a_{15} = 35890 + 19513 + 10609 = 66012 \)

Таким образом, количество различных вариантов для проведения опроса среди 18 учеников равно \( a_{18} = 66012 \).