В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами…
В треугольник со сторонами 4, 5 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Сначала найдем полупериметр треугольника. Стороны треугольника обозначим как \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \).
Полупериметр \( p \) вычисляется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 8}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]
Теперь найдем площадь треугольника с помощью формулы Герона: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] Подставим известные значения: \[ S = \sqrt{8.5 \left( 8.5 - 4 \right) \left( 8.5 - 5 \right) \left( 8.5 - 8 \right)} \] \[ = \sqrt{8.5 \cdot 4.5 \cdot 3.5 \cdot 0.5} \]
Вычислим это значение: \[ 8.5 \cdot 0.5 = 4.25, \] \[ 4.5 \cdot 3.5 = 15.75, \] \[ S = \sqrt{4.25 \cdot 15.75} \]
Теперь найдем произведение: \[ 4.25 \cdot 15.75 = 66.9375 \] Следовательно, \[ S = \sqrt{66.9375} \approx 8.2 \]
Итак, площадь \( S \approx 8.2 \).
Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \) по формуле: \[ r = \frac{S}{p} \] Подставим найденные значения: \[ r = \frac{8.2}{8.5} \approx 0.96 \]
Теперь мы можем найти расстояния от каждой из вершин до ближайшей точки касания вписанной окружности:
От вершины, противоположной стороне \( a = 4 \): \[ d_a = p - a = 8.5 - 4 = 4.5 \]
От вершины, противоположной стороне \( b = 5 \): \[ d_b = p - b = 8.5 - 5 = 3.5 \]
От вершины, противоположной стороне \( c = 8 \): \[ d_c = p - c = 8.5 - 8 = 0.5 \]
Теперь мы имеем три расстояния:
- \( d_a = 4.5 \)
- \( d_b = 3.5 \)
- \( d_c = 0.5 \)
Наименьшее из этих расстояний равно: \[ \boxed{0.5} \]
