В треугольнике АВС отрезки BD и ВЕ делят угол ∠ABC на три равные части. Отрезки CF и CG делят угол ∠ACB на три равные части. Отрезки BD и CF пересекаются в точке М, а отрезки ВЕ и CG пересекаются в точке №. Известно, что ВМС = 107°, ∠BNC = 109°. Найдите углы треугольника АВС. ∠ABC ∠ACB ∠BAC

Для решения задачи начнем с анализа данных углов и применения свойств треугольников.

1. Угол \( \angle ABC \) делится отрезками \( BD \) и \( BE \) на три равные части. Это означает, что: \[ \angle ABD = \angle DBC = \angle ABE = x \]

   То есть: \[ \angle ABC = 3x \]

2. Угол \( \angle ACB \) делится отрезками \( CF \) и \( CG \) на три равные части, что дает: \[ \angle ACF = \angle FCG = \angle BCG = y \]

   Тогда: \[ \angle ACB = 3y \]

3. Угол при вершинe A, \( \angle BAC \), обозначим как \( z \).

Теперь из геометрии треугольника известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Следовательно, мы имеем: \[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180° \] Подставляем наши выражения: \[ 3x + 3y + z = 180° \]

Теперь пора рассмотреть информацию о внешних углах. Угол \( \angle BMC \) равен \( \angle BMC = 180° - \angle BNC = 180° - 109° = 71° \). Мы объединяем углы: \[ \angle BMC = \angle B + \angle C = \angle ABC + \angle ACB \]

Теперь получается следующее уравнение: \[ \angle ABC + \angle ACB = 71° \] Подставляем выражения: \[ 3x + 3y = 71° \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( 3x + 3y + z = 180° \)
2. \( 3x + 3y = 71° \)

Из второго уравнения можем выразить \( z \): \[ 3x + 3y = 71° \] \[ z = 180° - 71° = 109° \]

Теперь мы можем найти \( x \) и \( y \). Подставляем значение \( z \) в первое уравнение: \[ 71° + 109° = 180°, \] что были верными равенствами.

Теперь нам нужно найти \( x \) и \( y \). Возьмем \( 3x + 3y = 71° \), чтобы выразить одно через другое. Например, можем представить : \[ x + y = \frac{71°}{3}. \]

Теперь, учитывая равенство \( 3x + 3y + 109° = 180° \) мы решаем уравнение: \[ 3x + 3y = 71° \implies x + y = \frac{71}{3} \implies x = \frac{71/3 - y}{3}. \]

Мы можем выбрать любое значение для поиска углов \( A, B, C \), однако из данных у нас получится, что: \[ \angle ABC = 71° , \; \angle ACB = 71° ,\; \angle BAC = 109°. \]

Таким образом, углы треугольника \( \triangle ABC \) будут равными: \[ \angle ABC = 71°, \quad \angle ACB = 71°, \quad \angle BAC = 109°. \]