Число 823_16 делится на каждую из своих цифр. Восстановите пропущенную цифру.

Чтобы восстановить пропущенную цифру в числе 823_16, давайте сначала рассмотрим, что означает то, что это число делится на каждую из своих цифр. Строка "823_16" указывает, что это число записано в шестнадцатеричной системе счисления.

В шестнадцатеричной системе цифры от 0 до 9 представляют себя, а цифры от A до F представляют значения от 10 до 15. Таким образом, возможные значения для пропущенной цифры могут быть от 0 до 15.

Давайте обозначим пропущенную цифру как \( x \). Тогда мы можем записать число в виде \( 823x_{16} \), что в десятичной системе будет равно:

\[ 8 \cdot 16^3 + 2 \cdot 16^2 + 3 \cdot 16^1 + x \cdot 16^0 = 8 \cdot 4096 + 2 \cdot 256 + 3 \cdot 16 + x = 32768 + 512 + 48 + x = 33228 + x \]

Теперь нам нужно, чтобы это число делилось на каждую из цифр: 8, 2, 3 и \( x \).

1. Делимость на 8: Число делится на 8, если последние три цифры делятся на 8.
2. Делимость на 2: Число делится на 2, если последняя цифра четная, то есть \( x \) может быть 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E.
3. Делимость на 3: Для проверки делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Сумма цифр числа 823x будет \( 8 + 2 + 3 + x = 13 + x \).

Теперь проверим возможные значения \( x \):

• Если \( x = 0 \): сумма \( 13 + 0 = 13 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 1 \): сумма \( 13 + 1 = 14 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 2 \): сумма \( 13 + 2 = 15 \) (делится на 3)
• Если \( x = 3 \): сумма \( 13 + 3 = 16 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 4 \): сумма \( 13 + 4 = 17 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 5 \): сумма \( 13 + 5 = 18 \) (делится на 3)
• Если \( x = 6 \): сумма \( 13 + 6 = 19 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 7 \): сумма \( 13 + 7 = 20 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 8 \): сумма \( 13 + 8 = 21 \) (делится на 3)
• Если \( x = A \): сумма \( 13 + 10 = 23 \) (не делится на 3)
• Если \( x = B \): сумма \( 13 + 11 = 24 \) (делится на 3)
• Если \( x = C \): сумма \( 13 + 12 = 25 \) (не делится на 3)
• Если \( x = D \): сумма \( 13 + 13 = 26 \) (не делится на 3)
• Если \( x = E \): сумма \( 13 + 14 = 27 \) (делится на 3)
• Если \( x = F \): сумма \( 13 + 15 = 28 \) (не делится на 3)

Теперь проверьте найденные значения (2, 5, 8, B, E) на делимость на 8:

• \( x = 2 \): делится на 2, не проверяем на 8
• \( x = 5 \): делится на 2, не проверяем на 8
• \( x = 8 \): делится на 2 и 8
• \( x = B \): не проверяем, нечетное
• \( x = E \): делится на 2, не проверяем на 8

Из всех возможных значений, только \( x = 8 \) удовлетворяет всем критериям. Таким образом, искомая цифра:

Ответ: 8.