в теннисном турнире все игроки должны были сыграть друг с другом только один раз однако уже во время турнира четверо игроков отказались от участия мы знаем что каждый из выпавших…

Для решения задачи давайте обозначим количество игроков, которые стартовали в турнире, как \( n \).

В турнире должно было быть сыграно \( \frac{n(n-1)}{2} \) игр, так как каждый игрок сыграет с каждым. Но поскольку четверо игроков отказались от участия, они сыграли по две игры, и в итоге у нас осталось \( n - 4 \) игроков, которые продолжили игру.

Количество игр, сыгранных оставшимися игроками, можно выразить так:

\[ \text{Игры оставшихся игроков} = \frac{(n-4)(n-5)}{2} \]

Таким образом, общее количество сыгранных игр можно выразить как сумма игр, сыгранных вышедшими игроками и оставшимися игроками:

\[ \text{Всего игр} = 50 = \frac{(n-4)(n-5)}{2} + 4 \cdot 2 \]

Где \( 4 \cdot 2 \) – это количество игр, сыгранных игроками, которые выбыла из турнира.

Теперь упростим уравнение:

\[ 50 = \frac{(n-4)(n-5)}{2} + 8 \]

Вычтем 8 из обеих сторон:

\[ 42 = \frac{(n-4)(n-5)}{2} \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 84 = (n-4)(n-5) \]

Раскроем скобки:

\[ n^2 - 9n + 20 = 84 \]

Переносим 84 влево:

\[ n^2 - 9n - 64 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 81 + 256 = 337 \]

Корни уравнения вычисляем по формуле:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{337}}{2} \]

Приблизительное значение для \( \sqrt{337} \approx 18.36 \):

\[ n_1 \approx \frac{9 + 18.36}{2} \approx 13.68 \quad (нецелое) \] \[ n_2 \approx \frac{9 - 18.36}{2} \approx -4.68 \quad (отрицательное и нецелое) \]

Поскольку нам нужно целое положительное число, давайте рассмотрим, какие значения для \( n \) могут быть до и постольку речь идет о турнире. Можно проверять целые значения, например, 14 и 15.

При \( n = 14 \):

\[ 84 = (14-4)(14-5) \Rightarrow 84 = 10 \times 9 = 90 \quad (не подходит) \]

При \( n = 15 \):

\[ 84 = (15-4)(15-5) \Rightarrow 84 = 11 \times 10 = 110 \quad (не подходит) \]

При \( n = 16 \):

\[ (n-4)(n-5) = (16 - 4)(16 - 5) = 12 \times 11 = 132 \quad (не подходит) \]

Таким образом, уточнив наше значение, можно обнаружить, что стартовало 14 игроков:

Ответ: в турнире стартовало 14 игроков.