На Олимпиаде Катя Мотя Федя и Паша решали задачи причём Катя решил на пять задач больше Феди а Мотя на 8 раз больше Паши. Все решили разные число задач . учитель послал Москву на проверку только две лучшие работы в которых в сумме было решено 23 задачи. сколько задач было решено всего во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты.

Давайте разберёмся с этой задачей. Обозначим количество задач, решённых каждым из участников:

• Пусть количество задач, решённых Пашей, будет \(x\).
• Тогда Федя решал \(y = x + 5\) задач.
• Мотя решал \(z = 8x\) задач.
• Катя решала \(w = 8y\) задач.

Согласно условиям задачи, мы знаем, что сумма задач, решённых двумя лучшими участниками, составляет 23.

Первым делом, найдём возможные варианты для \(x\), \(y\), \(z\) и \(w\), а затем подберём такие варианты, которые в сумме дают 23 задачи.

Рассматриваемые случаи по количеству задач:

1. Федя (y) и Катя (w): \[ y + w = (x + 5) + 8(x + 5) = 9x + 45 \]

2. Федя (y) и Мотя (z): \[ y + z = (x + 5) + 8x = 9x + 5 \]

3. Мотя (z) и Катя (w): \[ z + w = 8x + 8(x + 5) = 16x + 40 \]

4. Паша (x) и Федя (y): \[ x + y = x + (x + 5) = 2x + 5 \]

Сумма задач всегда должна равняться 23. Поскольку у нас есть разные варианты, давайте рассмотрим их по очереди:

Подбор значений

1. Определим x = 2 (Паша):

   Тогда:

   • Федя: \(y = 2 + 5 = 7\)
   • Мотя: \(z = 8 \times 2 = 16\)
   • Катя: \(w = 8 \times 7 = 56\)

   Проверяем пары:

   • \(y + w = 7 + 56 = 63\)
   • \(y + z = 7 + 16 = 23\) (Подходящий случай)
   • \(z + w = 16 + 56 = 72\)

2. Определим x = 1 (Паша):

   Тогда:

   • Федя: \(y = 1 + 5 = 6\)
   • Мотя: \(z = 8 \times 1 = 8\)
   • Катя: \(w = 8 \times 6 = 48\)

   Проверяем пары:

   • \(y + w = 6 + 48 = 54\)
   • \(y + z = 6 + 8 = 14\)
   • \(z + w = 8 + 48 = 56\)

Итоговые варианты

Обобщая, мы видим, что при \(x = 2\) у нас есть действительно подходящий вариант, в котором Федя и Мотя решают по разным числам задач, а сумма равна 23.

Всего задач было решено: \[ x + y + z + w = 2 + 7 + 16 + 56 = 81 \]

Таким образом, всего было решено 81 задача всеми участниками.

Если искать другие подходящие варианты, можно поэкспериментировать с другими значениями для \(x\), но в данном контексте условия показывают, что диапазон задач достаточно ограничен, и мы можем прийти к единственному решению.