На плоскости проведено 14 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Какое наибольшее количество точек…

Давайте рассмотрим задачу. Из условия известно, что среди любых четырех выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Это означает, что нельзя выбрать 4 прямые, все из которых пересекаются.

Применим принцип включения-исключения. Если располагать прямые так, чтобы минимизировать количество параллельных, то можно разбить 14 прямых на группы, где в каждой группе не более 3 прямых могут пересекаться. Поскольку среди любых 4 прямых должно быть как минимум 2 параллельные, нам необходимо ограничить количество прямых в каждой группе до 3.

Предположим, что у нас есть \(k\) групп, где в каждой группе \(m_i \leq 3\) прямых. Мы знаем, что: \[ m_1 + m_2 + \ldots + m_k = 14 \] Теперь посчитаем максимальное количество точек пересечения, когда ни в одной из групп нет двух параллельных прямых. Если в группе \(m_i\) прямых, то количество точек пересечения в этой группе равно \[ \binom{m_i}{2} = \frac{m_i(m_i - 1)}{2}. \]

Используя формулу для суммы, мы можем оцениваем всего: \[ \text{Общее количество пересечений} = \sum_{i=1}^{k} \binom{m_i}{2}. \] Поскольку \(m_i \leq 3\):

• Если \(m_i = 3\), то \(\binom{3}{2} = 3\).
• Если \(m_i = 2\), то \(\binom{2}{2} = 1\).
• Если \(m_i = 1\), то \(\binom{1}{2} = 0\).

Чем больше групп, тем меньше пересечений. Для максимизации пересечений минимизируем количество групп. Например, можно разделить 14 на 3 группы:

• 4 группы по 3 прямые и 2 прямые в одной группе.

\[ 3 + 3 + 3 + 3 + 2 = 14. \]

Теперь считаем количество точек пересечения:

\[ \binom{3}{2} + \binom{3}{2} + \binom{3}{2} + \binom{3}{2} + \binom{2}{2} = 3 + 3 + 3 + 3 + 1 = 13. \]

Таким образом, максимальное количество точек пересечения, которое могут иметь между собой все проведенные прямые, составляет 13.

Ответ: 13.