Коля придумал функцию f(x) = (x - 100) (3x - 300) (5x - 500) - (ах3 + bx? + cx + d) . При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, с, d) функция f(x) такова, что: f（1） =2元 f（3） =2元 f(5) = 2т f(7) = 2T Найдите значение параметра а.

Question 1

Задача Задача №1917039

А

Аноним

18 октября 2024 11:23 · публичный вопрос

А

Аноним 18 октября 2024 11:23

Коля придумал функцию f(x) = (x - 100) (3x - 300) (5x - 500) - (ах3 + bx? + cx + d) . При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, с, d) функция f(x) такова, что: f（1） =2元 f（3） =2元 f(5) = 2т f(7) = 2T Найдите значение параметра а.

Answer

Для решения этой задачи сначала упростим функцию \( f(x) \):

\[ f(x) = (x - 100)(3x - 300)(5x - 500) - (ax^3 + bx^2 + cx + d) \]

Теперь выразим \( (x - 100)(3x - 300)(5x - 500) \). Это кубический многочлен, его можно вычислить, сначала умножив пары скобок.

Умножим первые две скобки: \[ (x - 100)(3x - 300) = 3x^2 - 300x - 300x + 30000 = 3x^2 - 600x + 30000 \]
Умножим этот результат на последнюю скобку: \[ (3x^2 - 600x + 30000)(5x - 500) \] Умножим каждое слагаемое: \[ = (3x^2)(5x) + (3x^2)(-500) + (-600x)(5x) + (-600x)(-500) + (30000)(5x) + (30000)(-500) \] \[ = 15x^3 - 1500x^2 - 3000x + 300000 + 150000x - 15000000 \] \[ = 15x^3 - 1500x^2 + 147000x - 14700000 \]

Теперь, подставим полученное выражение в \( f(x) \): \[ f(x) = \left(15x^3 - 1500x^2 + 147000x - 14700000\right) - (ax^3 + bx^2 + cx + d) \] \[ = (15 - a)x^3 + (-1500 - b)x^2 + (147000 - c)x - (14700000 + d) \]

Теперь у нас есть многочлен третьей степени, равный нулю при некоторых значениях \( x \): \[ f(1) = 2, \quad f(3) = 2, \quad f(5) = 2, \quad f(7) = 2 \] Мы можем записывать эти четыре уравнения как систему: \[ (15 - a)(1^3) + (-1500 - b)(1^2) + (147000 - c)(1) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(3^3) + (-1500 - b)(3^2) + (147000 - c)(3) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(5^3) + (-1500 - b)(5^2) + (147000 - c)(5) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(7^3) + (-1500 - b)(7^2) + (147000 - c)(7) - (14700000 + d) = 2 \]

Это четыре уравнения и четыре неизвестных \( a, b, c, d \). Выражая каждое уравнение, вы сможете найти значение \( a \).

После проведённых вычислений можно заметить, что поскольку \( f(x) \) равно 2 для всех четырёх значений \( x \), это указывает на то, что многочлен \( f(x) \) можно представить как \( k = 2 \) для шести условий. Так как у нас многофункциональные уравнения, можно завести систему уравнений, чтобы найти константы.

Самый оптимальный подход — использовать свойства симметрии и множество значений, чтобы решить за \( a \).

Каждое из уравнений по отдельности не совсем простое, так что можно попробовать подставить значения.

Эта работа указывает на то, что система не создаёт \( a = 15 - 0 = 15 \), так как \( f \) равна двум.

Таким образом, \( a = 15 \).

Ответ: \( a = 15 \).

Question 2

Коля придумал функцию f(x) = (x - 100) (3x - 300) (5x - 500) - (ах3 + bx? + cx + d) . При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, с, d) функция f(x) такова, что: f（1） =2元 f（3） =2元 f(5) = 2т f(7) = 2T Найдите значение параметра а.

Answer

Для решения этой задачи сначала упростим функцию \( f(x) \): \[ f(x) = (x - 100)(3x - 300)(5x - 500) - (ax^3 + bx^2 + cx + d) \] Теперь выразим \( (x - 100)(3x - 300)(5x - 500) \). Это кубический многочлен, его можно вычислить, сначала умножив пары скобок. 1. Умножим первые две скобки: \[ (x - 100)(3x - 300) = 3x^2 - 300x - 300x + 30000 = 3x^2 - 600x + 30000 \] 2. Умножим этот результат на последнюю скобку: \[ (3x^2 - 600x + 30000)(5x - 500) \] Умножим каждое слагаемое: \[ = (3x^2)(5x) + (3x^2)(-500) + (-600x)(5x) + (-600x)(-500) + (30000)(5x) + (30000)(-500) \] \[ = 15x^3 - 1500x^2 - 3000x + 300000 + 150000x - 15000000 \] \[ = 15x^3 - 1500x^2 + 147000x - 14700000 \] Теперь, подставим полученное выражение в \( f(x) \): \[ f(x) = \left(15x^3 - 1500x^2 + 147000x - 14700000\right) - (ax^3 + bx^2 + cx + d) \] \[ = (15 - a)x^3 + (-1500 - b)x^2 + (147000 - c)x - (14700000 + d) \] Теперь у нас есть многочлен третьей степени, равный нулю при некоторых значениях \( x \): \[ f(1) = 2, \quad f(3) = 2, \quad f(5) = 2, \quad f(7) = 2 \] Мы можем записывать эти четыре уравнения как систему: \[ (15 - a)(1^3) + (-1500 - b)(1^2) + (147000 - c)(1) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(3^3) + (-1500 - b)(3^2) + (147000 - c)(3) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(5^3) + (-1500 - b)(5^2) + (147000 - c)(5) - (14700000 + d) = 2 \] \[ (15 - a)(7^3) + (-1500 - b)(7^2) + (147000 - c)(7) - (14700000 + d) = 2 \] Это четыре уравнения и четыре неизвестных \( a, b, c, d \). Выражая каждое уравнение, вы сможете найти значение \( a \). После проведённых вычислений можно заметить, что поскольку \( f(x) \) равно 2 для всех четырёх значений \( x \), это указывает на то, что многочлен \( f(x) \) можно представить как \( k = 2 \) для шести условий. Так как у нас многофункциональные уравнения, можно завести систему уравнений, чтобы найти константы. Самый оптимальный подход — использовать свойства симметрии и множество значений, чтобы решить за \( a \). Каждое из уравнений по отдельности не совсем простое, так что можно попробовать подставить значения. Эта работа указывает на то, что система не создаёт \( a = 15 - 0 = 15 \), так как \( f \) равна двум. Таким образом, \( a = 15 \). **Ответ: \( a = 15 \)**.