Имеется 13 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 13 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с обозначений. Пусть \( r_i \) — количество красных шариков в \( i \)-й коробке, а \( b_i \) — количество синих шариков в \( i \)-й коробке. Согласно условию, \( r_i \geq 1 \) и \( b_i \geq 1 \) для каждого \( i \), и разница между количеством шариков разных цветов в каждой коробке равна \( |r_i - b_i| \).

Далее, разница между количеством красных и синих шариков в каждой коробке — это число, которое обязательно разное для всех 13 коробок. Поскольку мы знаем, что разницы должны быть 13 различных чисел, это означает, что возможные разницы могут принимать значения от 1 до 13, поскольку минимальная разница может быть 1 (например, если в коробке 1 красный и 2 синих шарика, то разница будет 1), а максимальная — 13 (например, 1 красный и 14 синих).

Также из условия задачи известно, что общее количество красных шариков равно общему количеству синих шариков. Это мы можем записать как:

\[ \sum_{i=1}^{13} r_i = \sum_{i=1}^{13} b_i. \]

Чтобы минимизировать общее количество шариков, давайте сделаем следующее допущение. Мы можем использовать разности между красными и синими шариками, чтобы упростить распределение шариков.

Предположим, что для первых \( k \) коробок разница равна \( d_i = |r_i - b_i| \) соответствует номерам разностей от 1 до 13. Таким образом, у нас получаются пары:

1. Если \( d_1 = 1 \), можно взять \( r_1 = 1 \) и \( b_1 = 2 \) (итого 3).
2. Если \( d_2 = 2 \), можно взять \( r_2 = 2 \) и \( b_2 = 4 \) (итого 6).
3. Если \( d_3 = 3 \), можно взять \( r_3 = 3 \) и \( b_3 = 6 \) (итого 9).
4. Используя тот же принцип далее, например, для максимальной разности \( d_{13} = 13 \) можно взять \( r_{13} = 13 \) и \( b_{13} = 26 \) (итого 39).

Теперь можем подсчитать общее количество шариков в идеальном распределении. Однако, для того чтобы общая сумма красных и синих была равна, нам необходимо ввести дополнительные условия. Рассмотрим оптимальные значения красных \( r_i \) и синих \( b_i \) по порядку, например, из условий:

\[ r_i = k \quad и \quad b_i = k + d_i, \]

где \( d_i \) — это различия от 1 до 13. Индексы \( i \) от 1 до 13 дают 13 пар \( (r_i, b_i) \).

Таким образом, для минимизации обогатим к полученным значениям, чтобы красные и синие шарики были уравновешены на каждом уровне. В этом случае нам нужно минимизировать сумму \( \sum_{i=1}^{13} (r_i + b_i) \).

Итак, минимальная сумма может быть достигнута, где оба цвета шариков сбалансированы по количеству, что ведет к красивой равенству. Общее количество шариков будет равно минимум 39.

Таким образом, минимальное количество шариков во всех коробках составит 39.