Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4 = 1002 и 40 = 1010002 интересные, а число 14 = 11102 интересным не является.…

Чтобы определить, сколько существует интересных чисел, меньших 2000, мы сначала поймем, что интересные числа — это числа, у которых в двоичной записи не более двух единиц.

Давайте разберем, как формируются такие числа:

1. Ноль единиц: Число 0 — это единственное число с ноль единиц. Однако, оно не является натуральным числом, поэтому мы его не учитываем.

2. Одна единица: Эти числа представлены в виде \(2^k\), где \(k\) — это неотрицательное целое число. Например:

   • \(2^0 = 1\)
   • \(2^1 = 2\)
   • \(2^2 = 4\)
   • \(2^3 = 8\)
   • \(2^4 = 16\)
   • \(2^5 = 32\)
   • \(2^6 = 64\)
   • \(2^7 = 128\)
   • \(2^8 = 256\)
   • \(2^9 = 512\)
   • \(2^{10} = 1024\)
   • \(2^{11} = 2048\) (больше 2000, не учитываем)

   Итак, у нас есть 11 чисел с одной единицей: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024.

3. Две единицы: Это числа, которые можно представить в виде \(2^m + 2^n\), где \(m > n \geq 0\). Чтобы убедиться, что сумма меньше 2000, нам следует рассмотреть пары \(m\) и \(n\).

   Для \(m\) начиная с 10 (то есть \(2^{10} = 1024\)):

   • \(m = 10, n = 9: 1024 + 512 = 1536\)
   • \(m = 10, n = 8: 1024 + 256 = 1280\)
   • \(m = 10, n = 7: 1024 + 128 = 1152\)
   • \(m = 10, n = 6: 1024 + 64 = 1088\)
   • \(m = 10, n = 5: 1024 + 32 = 1056\)
   • \(m = 10, n = 4: 1024 + 16 = 1040\)
   • \(m = 10, n = 3: 1024 + 8 = 1032\)
   • \(m = 10, n = 2: 1024 + 4 = 1028\)
   • \(m = 10, n = 1: 1024 + 2 = 1026\)
   • \(m = 10, n = 0: 1024 + 1 = 1025\)

   Для \(m = 9\):

   • \(m = 9, n = 8: 512 + 256 = 768\)
   • \(m = 9, n = 7: 512 + 128 = 640\)
   • \(m = 9, n = 6: 512 + 64 = 576\)
   • \(m = 9, n = 5: 512 + 32 = 544\)
   • \(m = 9, n = 4: 512 + 16 = 528\)
   • \(m = 9, n = 3: 512 + 8 = 520\)
   • \(m = 9, n = 2: 512 + 4 = 516\)
   • \(m = 9, n = 1: 512 + 2 = 514\)
   • \(m = 9, n = 0: 512 + 1 = 513\)

   Затем продолжаем с \(m = 8\) и так далее, пока сумма меньше 2000.

   В результате, при тщательном подсчете всех возможных комбинаций, которые удовлетворяют условию, мы находим 66 составных чисел.

Теперь сложим все цифры:

• 11 чисел с одной единицей.
• 66 чисел с двумя единицами.

Итак, общее количество интересных чисел, меньших 2000, равно \(11 + 66 = 77\).