В треугольнике ABC отрезки BD и be делят Угол ABC на 3 равные части отрезки CF и cg делят угол acb на три равные части отрезки BD и CF пересекаются в точке M A отрезки be и cg…

Для решения задачи сначала обозначим углы треугольника \(ABC\):

• Пусть угол \(ABC = \alpha\).
• Пусть угол \(ACB = \beta\).
• Тогда угол \(BAC = 180^\circ - \alpha - \beta\).

Согласно условию, отрезки \(BD\) и \(BE\) делят угол \(ABC\) на три равные части. Следовательно:

\[ \angle ABD = \angle DBC = \angle ABE = \frac{\alpha}{3} \]

Таким образом, угол \(ABC\) можно выразить как:

\[ \alpha = 3 \cdot \frac{\alpha}{3} = \alpha \]

Теперь перейдем к углу \(ACB\), который делится отрезками \(CF\) и \(CG\) на три равные части:

\[ \angle ACF = \angle FCB = \angle ACG = \frac{\beta}{3} \]

Теперь, с учетом углов \(BMC\) и \(BNC\):

\[ \angle BMC = 116^\circ \] \[ \angle BNC = 118^\circ \]

Мы знаем, что:

\[ \angle BMC = 180^\circ - \left(\angle DBC + \angle BDC\right) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{3} + \angle CBD\right) \]

При этом углы внутри треугольника \(BMC\) и \(BNC\) также можно выразить через \(\alpha\) и \(\beta\):

• \(\angle BMC = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{3} + \angle CMB\right)\)
• \(\angle BNC = 180^\circ - \left(\frac{\beta}{3} + \angle CNB\right)\)

Теперь, чтобы найти углы \(ABC\) и \(ACB\), подсчитаем разность:

\[ \angle BMC + \angle BNC = 116^\circ + 118^\circ = 234^\circ \]

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 360°:

\[ \angle BAC + \angle BMC + \angle BNC = 360^\circ \Rightarrow \angle BAC + 234^\circ = 360^\circ \Rightarrow \angle BAC = 360^\circ - 234^\circ = 126^\circ \]

Теперь можем выразить заключенные углы через угол \(BAC\):

\[ \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \]

Так как \(\alpha + \beta = 54^\circ\) и у нас есть равенства:

\[ \alpha = 3 \cdot \frac{\alpha}{3}, \quad \beta = 3 \cdot \frac{\beta}{3} \]

Обозначим:

\[ \alpha = 3x, \quad \beta = 3y \]

где:

\[ x + y = 18^\circ \]

Так как \(\alpha + \beta = 54^\circ\), получаем \(3(y + x) = 54^\circ\):

\[ \Rightarrow y + x = 18^\circ \]

Эти равенства дают:

\[ x + y = 18^\circ \]

Теперь найдем углы:

• Пусть \(\alpha = 36^\circ\), тогда \(\beta = 18^\circ\).

Итак, углы треугольника \(ABC\):

\[ \angle ABC = 36^\circ, \quad \angle ACB = 18^\circ, \quad \angle BAC = 126^\circ. \]

Таким образом, углы треугольника \(ABC\) составляют:

\[ \angle ABC = 36^\circ,\ \angle ACB = 18^\circ,\ \angle BAC = 126^\circ. \]